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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Di 18.09.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | | Wie überprüfe ich am schnellsten ob ein Vektor im Erzeugnis ist, dass von verschiedenen Vektoren aufgespannt ist? |
Hallo
Also allgemein ist meine Frage:
Sei U = <a,b,c,d>
Frage ist nun ob Vektor x [mm] \in [/mm] U ist
Ich weiß, wenn x [mm] \in [/mm] U ist gibt es Skalare so dass x = [mm] s_1 [/mm] *a + [mm] s_2 [/mm] b + [mm] s_3 [/mm] c + [mm] s_4 [/mm] d
Aber wie löst man die Frage rechnerisch am schnellsten?
Dachte zuerst vlt. die Vektoren a,b,c,d,x in Matrix zu stecken und die Determinante auszurechnen & zu schauen ob sie 0 ist- bin mir aber nicht sicher.
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moin,
Um das zu lösen gibt es verschiedene Möglichkeiten.
Falls du mehrere Vektoren $x$ auf Zugehörigkeit zum selben Unterraum $U$ testen möchtest besteht die Möglichkeit eine Matrix $A$ aufzustellen, die folgendes erfüllt:
$Ax = 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] U$
Dann musst du einfach $Ax$ berechnen und das Ergebnis sagt dir sofort, ob $x [mm] \in [/mm] U$ oder nicht.
Die Matrix $A$ zu finden ist aber mit ein wenig Arbeit verbunden...
Möchtest du $U$ nur einmal verwenden ist ein Gleichungssystem die beste Möglichkeit.
Also deine Gleichung für das $x$ gibt dir ein System mit 4 Unbekannten, das du lösen bzw. auf Lösbarkeit untersuchen kannst.
Für weitere Vereinfachungen stellt sich natürlich die Frage, wie genau $U$ und $x$ aussehen, da muss man dann von Fall zu Fall gucken.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Di 18.09.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo
Ich muss sagen deine ANtwort hilt mir nicht weiter.
ich erkläre das Problem genauer:
Allgemein: Es geht um eine nilpotente Abbildung, für die eine Basis gesucht wird so dass [mm] [\phi]_{BB} =\pmat{ 0 & \epsilon_1&0&..&0 \\ 0&0&\epsilon_2&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\\vdots&\ddots&0&0&\epsilon_{n-1}\\0&..&..&0&0 }
[/mm]
Konkret: U= < [mm] a=\vektor{0\\0\\0\\1\\0\\0},b=\vektor{0\\0\\1\\0\\2\\0},c=\vektor{1\\0\\1\\0\\0\\-1\\0},d=\vektor{1\\0\\-2\\0\\0\\-3}>
[/mm]
Und ich möchte wissen ob die Vektoren: [mm] x=\vektor{0\\2\\0\\0\\1\\0}, y=\vektor{0\\0\\1\\0\\2\\0} \in [/mm] U sind.
Wie geht das am schnellsten?
Ich würde:
A= ( a,b,c,d,x)
det(A)
det(A) =0 -> Vektoren linear abhängig -> Vektor x in Erzeugendensystem von U
det(A) [mm] \not= [/mm] 0 -> Vektoren linear abhängig -> Vektor x nicht in Erzeugendensystem
Aber das ist falsch oder?
LG,
qausimo
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> Konkret: U= <
> [mm]a=\vektor{0\\0\\0\\1\\0\\0},b=\vektor{0\\0\\1\\0\\2\\0},c=\vektor{1\\0\\1\\0\\0\\-1\\0},d=\vektor{1\\0\\-2\\0\\0\\-3}>[/mm]
> Und ich möchte wissen ob die Vektoren:
> [mm]x=\vektor{0\\2\\0\\0\\1\\0}, y=\vektor{0\\0\\1\\0\\2\\0} \in[/mm]
> U sind.
> Wie geht das am schnellsten?
>
> Ich würde:
> A= ( a,b,c,d,x)
> det(A)
> det(A) =0 -> Vektoren linear abhängig -> Vektor x in
> Erzeugendensystem von U
> det(A) [mm]\not=[/mm] 0 -> Vektoren linear abhängig -> Vektor x
> nicht in Erzeugendensystem
>
> Aber das ist falsch oder?
Stimmt.
Du kannst Determinanten nur von quadratischen Matrizen berechnen (zumindest mit den bekannten Rechenmethoden), deine Matrix wird aber alles andere als quadratisch.
Ich würde dir folgendes Vorgehen empfehlen:
1. Finde eine Basis von $U$, indem du die Erzeuger als Zeilen in eine Matrix schreibst und diese in reduzierte Zeilenstufenform bringst.
2. Schreibe diese Basis wiederum als Zeilen in eine neue Matrix und füge $x$ bzw. $y$ als letzte Zeile hinzu.
Dann weitergaußen:
Erhältst du eine Nullzeile so ist $x [mm] \in [/mm] U$ bzw. $y [mm] \in [/mm] U$, wenn nicht dann nicht.
Wenn du im ersten Schritt wirklich eine reduzierte Zeilenstufenform erzeugst so sollte der zweite Schritt sehr schnell gehen; unter Umständen kannst du dann sogar ohne Rechnung erkennen, ob die beiden in $U$ liegen.
Und zu deiner nilpotenten Matrix:
Auch wenn ich nicht weiß, wofür die [mm] $\epsilon$ [/mm] stehen sollen, so sieht mir das doch stark nach einer Jordanform aus...
Bist du über [mm] $\IC$ [/mm] bzw. kannst du die Existenz einer solchen Form gewährleisten?
Wenn ja dann gibt es ja eine ganze Reihe von Algorithmen, um die Basistransformationen für die Jordanform zu bestimmen; kennst du davon ein paar?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:17 Do 20.09.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo danke für den Beitrag.
Es ist ein Sprung von der Jordanformel entfernt was ich gerade berechne.
DIe Matrix:
[mm] A=\pmat{ 0 & 1 &0&0&0&0\\2&0&1&0&0&0 \\ 0&-2&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0\\1&0&-1&2&0&1\\0&-3&0&0&0&0}
[/mm]
Die Matrix ist nilpotent denn
[mm] A^2 [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 0 &1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0 \\ -4&0&-2&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\-6&0&-3&0&0&0}
[/mm]
[mm] A^3 [/mm] = [mm] \pmat{ 0& 0 &0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&-2&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&-3&0&0}
[/mm]
[mm] A^4 [/mm] =0
Nun will ich eine invertierbare Matrix S finden, sodass [mm] S^{-1} [/mm] A S die Geestalt $ [mm] [\phi]_{BB} =\pmat{ 0 & \epsilon_1&0&..&0 \\ 0&0&\epsilon_2&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\\vdots&\ddots&0&0&\epsilon_{n-1}\\0&..&..&0&0 } [/mm] $ mit [mm] \epsilon_i \in\{0,1\}
[/mm]
Nach den Algorithmus:
[mm] A^4 [/mm] =0 => [mm] r_1 [/mm] =4
wählen nun [mm] v_1 [/mm] so dass [mm] A^3 v_1 \not=0
[/mm]
kann ich ablesen [mm] v_1 [/mm] = [mm] e_4
[/mm]
[mm] v_1=\vektor{0\\0\\0\\1\\0\\0},Av_1=\vektor{0\\0\\1\\0\\2\\0},A^2 v_1=\vektor{1\\0\\1\\0\\0\\-1\\0},A^3 v_1=\vektor{1\\0\\-2\\0\\0\\-3}
[/mm]
ich bezeichne U = < [mm] v_1 [/mm] , A [mm] v_1 [/mm] , [mm] A^2 v_1 [/mm] , [mm] A^3 v_1 [/mm] >
Jetzt muss ich laut ALgorithmus schauen ob [mm] img(A^3) \subseteq [/mm] U -> offensichtlich ja, da die eine SPalte in U ist
Nun ob [mm] img(A^2) \subseteq [/mm] U . jap
Nun ob img(A) [mm] \subseteq [/mm] U was falsch ist
Nun ist das ja manchmal relativ offensichtlich in der Linearkombination aber manchmal halt auch nicht.Dafür fragte ich nach einen Algorithmus
-> [mm] r_2 [/mm] = 2 sei v'_2 so gewählt dass A v'_2 [mm] \not\in [/mm] U
-> v'_2 = [mm] e_1
[/mm]
v'_2 = [mm] e_1, [/mm] A v'_2 = [mm] \vektor{0 \\ 2\\0\\0\\1\\0}, A^2 [/mm] v'_2 = [mm] \vektor{2 \\ 0\\-4\\0\\0\\-6}= [/mm] 2 [mm] A^3 v_1
[/mm]
[mm] v_2 [/mm] = v'_2 - 2 [mm] Av_1 [/mm] dann gilt [mm] A^2 v_2 [/mm] =0
[mm] v_2 [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\-2\\0\\-4\\0\} [/mm] , A [mm] v_2 [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0\\0\\3\\0}
[/mm]
So ist dann B : [mm] A^3v_1 ,A^2 v_1 [/mm] , A [mm] v_1, v_1 [/mm] , A [mm] v_2, v_2 [/mm] die ensprechende Basis
Vlt. hast du da irgendwelche Tricks die den Algorithmus erleichtern;)
LG,
quasimo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Sa 22.09.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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