Erzeugnis von Abbildungen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Do 13.01.2011 | | Autor: | hilbert |
| Aufgabe | Sei X eine nichtleere Menge und K ein Körper. Weiter ist für jedes x [mm] \in [/mm] X definiert:
[mm] i_x: [/mm] X -> K , [mm] i_x(y) [/mm] ist 1 wenn y = x, sonst 0.
Zeige:
Für [mm] S=(i_x [/mm] | x [mm] \in [/mm] X) gilt:
Abb(X,K) = < S > <=> X ist endliche Menge. |
Hier fehlt mir schon der Ansatz =/
"=>" Wäre ja aus Abb(X,K) = < S > zu folgern, dass X nur endlich sein kann.
Ich habe mir gedacht, wenn ich aus den Linearkombinationen aller [mm] i_x [/mm] die ganze Abbildung von X nach K darstellen kann, so muss doch die Abb endlich sein und damit X. Aber das ist wahrscheinlich totaler humbug.
"<=" Wenn X endlich ist, so habe ich k Elemente aus X und damit k verschiedene [mm] i_x. [/mm] Diese [mm] i_x [/mm] bilden aber jedoch schon die ganze Abb(X,K), somit wäre <S> = Abb(X,K)
Leider komm ich bei beiden nicht so vorran.
Vielen Dank schonmal im Voraus.
hilbert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:40 Do 13.01.2011 | | Autor: | gfm |
> Sei X eine nichtleere Menge und K ein Körper. Weiter ist
> für jedes x [mm]\in[/mm] X definiert:
>
> [mm]i_x:[/mm] X -> K , [mm]i_x(y)[/mm] ist 1 wenn y = x, sonst 0.
>
>
> Zeige:
> Für [mm]S=(i_x[/mm] | x [mm]\in[/mm] X) gilt:
>
> Abb(X,K) = < S > <=> X ist endliche Menge.
> Hier fehlt mir schon der Ansatz =/
>
> "=>" Wäre ja aus Abb(X,K) = < S > zu folgern, dass X nur
> endlich sein kann.
>
> Ich habe mir gedacht, wenn ich aus den Linearkombinationen
> aller [mm]i_x[/mm] die ganze Abbildung von X nach K darstellen kann,
> so muss doch die Abb endlich sein und damit X. Aber das ist
> wahrscheinlich totaler humbug.
>
> "<=" Wenn X endlich ist, so habe ich k Elemente aus X und
> damit k verschiedene [mm]i_x.[/mm] Diese [mm]i_x[/mm] bilden aber jedoch
> schon die ganze Abb(X,K), somit wäre <S> = Abb(X,K)
>
> Leider komm ich bei beiden nicht so vorran.
>
> Vielen Dank schonmal im Voraus.
Ist nicht so ganz meine Welt. Daher nur so als Idee:
Wenn ich mich richtig erinnere ist die Linerare Hülle <S> einer Teilmenge S eines Vektoraums definiert als [mm] :=\left\{\summe_{i=1}^n f_i v_i:f_i\in \IK, v_i\in S;n\in \IN\right\}. [/mm] Betrachte nun [mm] f=\summe_{x\in X}f(x)*i_x. [/mm]
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:16 Do 13.01.2011 | | Autor: | hilbert |
Hier habe ich die Frage bereits gestellt.
Leider vergessen.
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=441785
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> Sei X eine nichtleere Menge und K ein Körper. Weiter ist
> für jedes x [mm]\in[/mm] X definiert:
>
> [mm]i_x:[/mm] X -> K , [mm]i_x(y)[/mm] ist 1 wenn y = x, sonst 0.
>
>
> Zeige:
> Für [mm]S=(i_x[/mm] | x [mm]\in[/mm] X) gilt:
>
> Abb(X,K) = < S > <=> X ist endliche Menge.
> Hier fehlt mir schon der Ansatz =/
>
> "=>" Wäre ja aus Abb(X,K) = < S > zu folgern, dass X nur
> endlich sein kann.
>
> Ich habe mir gedacht, wenn ich aus den Linearkombinationen
> aller [mm]i_x[/mm] die ganze Abbildung von X nach K darstellen kann,
> so muss doch die Abb endlich sein und damit X. Aber das ist
> wahrscheinlich totaler humbug.
>
> "<=" Wenn X endlich ist, so habe ich k Elemente
[mm] x_1,...,x_k
[/mm]
> aus X und
> damit k verschiedene [mm]i_x.[/mm]
Hallo,
ja, genau.
> Diese [mm]i_x[/mm] bilden aber jedoch
> schon die ganze Abb(X,K),
Was meinst Du damit?
Du mußt jetzt konkret vormachen, wie Du jedes beliebige [mm] f\in [/mm] Abb(X,K) als Linearkombination der [mm] i_{x_j} [/mm] schreiben kannst.
Wenn es Dir schwerfällt, kannst Du die Aufgabe ja mal als Vorübung für die Menge [mm] X:=\{1,2,3\} [/mm] und [mm] K=\IR [/mm] durchspielen.
> somit wäre < S > = Abb(X,K)
Nun zur anderen Richtung.
z.z.:
> Abb(X,K) = < S > ==> X ist endliche Menge.
Der Schlüssel liegt hier in der Def. von Linearkombination.
Nimm mal an, es würde Abb(X,K) von S erzeugt, und es wäre X nicht endlich.
Betrachte nun die Abbildung [mm] f:X\to [/mm] K mit f(x):=1.
Du könntest diese dann als Linearkombination der [mm] i_x [/mm] erzeugen...
Gruß v. Angela
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