Erzeugte Sigma-Algebra < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Pauli85 |
| Aufgabe | Beispielaufgabe: Gegeben sei [mm] \Omega:= [/mm] {a, b, c, d}. Ferner betrachten wir die beiden Mengensysteme [mm] \mathcal{A} [/mm] := [mm] 2^\Omega [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm] := {{a, b}, {d, c}, {a, c}, {b, d}}.
a) Zeigen Sie, dass [mm] \mathcal{A} [/mm] = [mm] \sigma(\varepsilon) [/mm] gilt. |
Hallo,
mein Problem ist eine von [mm] \varepsilon [/mm] erzeugte [mm] \sigma-Algebra [/mm] zu bilden.
Ich weiß, dass [mm] \sigma(\varepsilon) [/mm] durch den Schnitt aller [mm] \sigma-Algebren \mathcal{A}', [/mm] die [mm] \varepsilon [/mm] enthalten, erzeugt wird.
Also: [mm] \sigma(\varepsilon) [/mm] := [mm] \bigcap_{\mathcal{A}' \supset \varepsilon: \mathcal{A}' ist \sigma-Algebra}^{} \mathcal{A}'
[/mm]
Das heißt, ich muss alle [mm] \mathcal{A}' [/mm] bilden die [mm] \varepsilon [/mm] enthalten und deren Schnittmenge bilden. Doch wie bilde ich diese [mm] \mathcal{A}' [/mm] genau? Sind das bei [mm] |2^\Omega| [/mm] = 16 nicht viele die in Frage kommen könnten?
Hier erst einmal die Bedingungen, die [mm] \mathcal{A}' [/mm] erfüllen muss um eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] zu sein:
(i) [mm] \Omega \in \mathcal{A}' [/mm]
(ii) A, B [mm] \in \mathcal{A}' \Rightarrow [/mm] B [mm] \backslash [/mm] A [mm] \in \mathcal{A}'
[/mm]
(iii) [mm] A_{1}, A_{2},... \in \mathcal{A}' \Rightarrow \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} \in \mathcal{A}'
[/mm]
Die Bedingungen sind mir soweit eigentlich auch klar. Doch wie gesagt, ich habe Probleme dabei alle in Frage kommenden [mm] \mathcal{A}' [/mm] zu finden.
Könnte mir dies vielleicht jemand anhand des Beispiels oder aber auch an einem kleineren/kürzeren Beispiel zeigen? Ich denke, dass ich dies einmal richtig gesehen haben muss um die Sache zu verstehen.
Viele Grüße & Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Hier ein kleiner Hinweis: Sei A eine [mm] \sigma-Algebra, [/mm] die [mm] \varepsilon [/mm] umfasst. Zeige, dass dann auch [mm] \{a\}, \{b\}, \{c\} und\{d\} [/mm] in A liegen. Zeige dann, dass A schon die ganze Potenzmenge ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Pauli85 |
Hallo,
Zeige, dass dann auch $ [mm] \{a\}, \{b\}, \{c\} und\{d\} [/mm] $ in A liegen:
Dies lässt sich mit der zweiten von mir genannten Bedingung begründen, denn wenn [mm] \mathcal{A} [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist, dann müsste wenn A,B [mm] \in \mathcal{A} [/mm] auch A [mm] \backslash [/mm] B [mm] \in \mathcal{A} [/mm] sein. Nehmen wir uns also als Beispiel die Elemente (oder die Mengen?) {a, b} und {a, c} [mm] \in \mathcal{A}. [/mm] Nach der Bedingung muss also, weil [mm] \mathcal{A} [/mm] nach Vorraussetzung eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist, auch {a, b} [mm] \backslash [/mm] {a, c} [mm] \in \mathcal{A} [/mm] sein. Und {a, b} [mm] \backslash [/mm] {a, c} ist gerade {b}. Somit muss {b} in [mm] \mathcal{A} [/mm] enthalten sein. Genau so kann man es auch mit den anderen Elementen machen.
Zeige dann, dass A schon die ganze Potenzmenge ist.
Dies lässt sich wieder mit der zweiten Bedinung zeigen. [mm] \Omega [/mm] ist ja laut Vorraussetzung auch in [mm] \mathcal{A}, [/mm] somit kann ich mit [mm] \Omega [/mm] und den einzelnen Elementen {a},...,{d} jeweils die dreielementrigen Mengen bilden, wie z.B. {a,b,c}. Mit den dreielementrigen Mengen bekomme ich dann die fehlenden zweielementrigen Mengen. Somit habe ich dann die komplette Potenzmenge zusammen.
Ist dies so richtig?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Teufel |
Genau!
Den zweiten Schritt kannst du auch noch etwas einfacher begründen, denn jede Menge M ist ja immer die Vereinigung aller ihrer Elemente (als einpunktige Mengen aufgefasst). Einfach gesagt: [mm] M=\bigcup_{m \in M}^{}\{m\}.
[/mm]
Damit gilt halt, dass du jede beliebige Menge aus [mm] 2^\Omega [/mm] auch einfach so ausdrücken kannst. z.B. gilt einfach [mm] \{a,b,d\}=\{a\}\cup \{b\} \cup \{d\}. [/mm]
Ihr müsst halt nur gezeigt haben, dass auch beliebige Vereinigungen von Mengen wieder in der [mm] \sigma-Algebra [/mm] sind. Falls nicht, kannst du das auch selbst zeigen, es ist nicht so schwierig (du findest es sogar auf Wikipedia! Stichwort de Morgan).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Pauli85 |
Vielen Dank schon mal für deine Hilfe! Ich denke, ich habe die ganze Sache jetzt besser verstanden.
> Ihr müsst halt nur gezeigt haben, dass auch beliebige
> Vereinigungen von Mengen wieder in der [mm]\sigma-Algebra[/mm] sind.
> Falls nicht, kannst du das auch selbst zeigen, es ist nicht
> so schwierig (du findest es sogar auf Wikipedia! Stichwort
> de Morgan).
Es gilt ja: [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} \in \mathcal{A} [/mm] = [mm] (\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}^{c})^{c} \in \mathcal{A} [/mm] (falls du das meintest)
Jetzt frage ich mich noch ob das [mm] \infty [/mm] als obere Grenze "fest" ist, also ob dies nur gilt wenn ich alle n einsetzte, oder ob ich die obere Grenze auch selbst auf eine bestimmte Zahl runtersetzen kann.
Eigentlich schon, oder? Denn wenn die Vereinigung von [mm] \infty [/mm] Mengen in [mm] \mathcal{A} [/mm] liegt, dann liegen ja erst recht endlich viele auch drin.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Teufel |
Jap, du kannst die Grenze auch runtersetzen. Das sieht man beim Durchschnitt z.B. so: Ab einem bestimmten Index n nimmst du einfach nur noch ganz [mm] \Omega [/mm] in die Schnittmenge auf. In Formeln:
[mm] $\bigcap_{i=1}^{n} A_i [/mm] = [mm] (\bigcap_{i=1}^{n}A_i) \cap \Omega \cap \Omega \cap\ldots= \bigcap_{i=1}^{\infty} A_i$ [/mm] mit [mm] $A_i [/mm] = [mm] \Omega$ [/mm] für alle $i>n$.
Für die Vereinigung geht das ganz genauso.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:27 Sa 27.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
> Ihr müsst halt nur gezeigt haben, dass auch beliebige
> Vereinigungen von Mengen wieder in der [mm]\sigma-Algebra[/mm] sind.
Nur zur Sicherheit: Dies gilt i.A. nur für ABZÄHLBARE Vereinigungen von Mengen aus der Sigma-Algebra.
Viele Grüße
Tobias
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