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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 Di 01.02.2005 | | Autor: | maxic |
Hallo,
ich habe noch eine Fourierreihen Aufgabe wo ich nicht ganz weiterkommen kann.
Sei {f(x)} periodisch mit T=2. Für -1<x<0 sei f(x) =1 und für 0<=x<=1 sei f(x) =x. Berechne die Fourierreihe F(x) von f(x). Wo stimmen F(x) überein, wo nicht?
Welchen Grenzwert hat die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} [/mm] 1/(2k+1)²
So nun mein Problem, ich weiss nicht welche grenzen beim Integral ich setzen soll, und wie vergleiche ich die beiden Fourierreihen. Wenn ich grenzen von -1 bis 1 setze dann kommt das nicht raus was rauskommen soll.
Hier ist das Ergebnis: [mm] \bruch{3}{4} [/mm] . [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} [/mm] (1/(n [mm] \pi [/mm] )²((-1) ^{n})-1)cos(n [mm] \pi [/mm] x)-(1/n [mm] \pi) [/mm] *sin(n [mm] \pi [/mm] x) , F(x)=f(x) für x [mm] \not=0, [/mm] F(0)= [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
die reihe sollte gegen [mm] \pi² [/mm] /8 für x=0 gehen...
es wäre toll, wenn mir jemand helfen würde auf dieses Ergbenis zu kommen!
Hanno, was meinst du schaffst du das auch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Di 01.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo maxic!
Ich habe die Reihe durchgerechnet und bin auf das gleiche Ergebnis gekommen, was du genannt hast. Hier die ersten Schritte:
$T$-periodische Funktionen lassen sich nach folgenden Formeln in eine Fourierreihe entwickeln:
$f(x)=\frac{a_0}{2}+\summe_{n=1}^{\infty} a_n cos(n\omega x)+b_n sin(n\omega x)$
$a_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) cos(n\omega x) dx$
$b_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) sin(n\omega x) dx$
Dabei ist $T=\frac{2\pi}{\omega}\gdw \omega=\frac{2\pi}{T}$.
In unserem Falle ist $T=2$, also $\omega=\pi$. Demnach ergeben sich die Formeln:
$a_n=\frac{2}{2}\int_{-1}^{1} f(x) cos(n\omega x) dx=\int_{-1}^{0} cos(n\pi x) dx + \int_{0}^{1} x cos(n\pi x) dx$
$b_n=\frac{2}{2}\int_{-1}^{1} f(x) sin(n\omega x) dx=\int_{-1}^{0} sin(n\pi x) dx + \int_{0}^{1} x sin(n\pi x) dx$
Hilft dir das schonmal?
Du solltest letztenendes zum Ergebnis
$f(x)=\frac{3}{4}+\summe_{n=1}^{\infty} \frac{((-1)^n-1) cos(n\pi x)}{n^2\pi ^2}-\frac{sin(n\pi x)}{n\pi }$
gelangen. So weit, so gut.
Klar ist, dass du mit Hilfe dieser Reihenentwicklung irgendwie den Grenzwert der Reihe $\summe_{k=0}^{n}{\frac{1}{(2k+1)^2}$ bestimmen sollst. Dazu ziehen wir erstmal die Summe auseinander:
$f(x)=\frac{3}{4}+\summe_{n=1}^{\infty} \frac{((-1)^n-1) cos(n\pi x)}{n^2\pi ^2}- \summe_{n=1}^{\infty} \frac{sin(n\pi x)}{n\pi }$
Dazu überlegen wir uns folgendes: der Term $(-1)^n-1$ ist für gerade $n$ gleich Null, für die übrigen hat er den Wert $-2$. Also können wir die erste Summe zu $\summe_{n=0}^{\infty} \frac{-2 cos((2n+1)\pi x)}{(2n+1)^2\pi ^2}$ umformen. Zusammen ergibt sich also
$f(x)=\frac{3}{4}-\frac{2}{\pi^2}\summe_{n=0}^{\infty} \frac{cos((2n+1)\pi x)}{(2n+1)^2}-\summe_{n=1}^{\infty} \frac{sin(n\pi x)}{n\pi }$
Dies ist meistens der erste Schritt, den du tuen musst, sollst du eine Fourierreihe dazu verwenden, bestimmte Identitäten herzuleiten. Du musst durch Umstellen und geschicktes Hinsehen versuchen, eine Form zu finden, die der Reihe ähnelt, deren Grenzwert du bestimmen sollst. Wenn in dieser Reihe die $k$ nur in Form von $2k+1$ oder $2k$ auftauchen, ist es wahrscheinlich, dass in der Fourierreihe für bestimmte $n$ der Summand Null wird - wie hier.
Nun musst du ein geschickt gewähltes $x$ so einsetzen, dass eine Reihe stehenbleibt, du aber den Kosinusterm im Nenner los wirst. Dies geht in diesem Falle einfach: du setzt $x=0$, der Kosinus wird 1, die zweite Summe mit dem Sinus fällt weg und du erhältst
$f(0)=0=\frac{3}{4}-\frac{2}{\pi^2}\summe_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}$
$\gdw \summe_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{3\pi^2}{8}$
So, hier muss noch ein Fehler drinne sein, die 3 darf dort nicht stehen. Ich konnte ihn bisher leider nicht finden, vielleicht fällt er dir oder jemandem anders ja auf. Jedenfalls ist der Rechenweg der richtige wie ich denke und sollte dir weiterhelfen!
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:36 Di 01.02.2005 | | Autor: | maxic |
Danke dir, grossartig, damit kann ich schon einiges anfangen, ich werde mich heute abend dran setzen und gründlich bearbeiten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:47 Di 01.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Wie mir eben mitgeteilt wurde, ist [mm] $f(0)\not= [/mm] 0$, sondern [mm] $f(0)=\frac{1}{2}$, [/mm] also der Mittelwert des links- und rechtsseitigen Grenzwertes. Verwendest du diesen Wert, so erhältst du den korrekten Wert für die Reihe, nämlich [mm] $\frac{\pi^2}{8}$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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