Euklid City Bloc Beweis < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Di 16.07.2013 | | Autor: | dana1986 |
| Aufgabe | Sei n = 2 und x = [mm] (x_{1}, x_{2}) [/mm] und y = [mm] (y_{1}, y_{2}) [/mm] Vektoren des [mm] \IR^2.
[/mm]
Beweisen Sie:
a) [mm] \parallel [/mm] x+y [mm] \parallel \le \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] + [mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel [/mm] (euklidischer Abstand)
b) [mm] (\parallel [/mm] x+y [mm] \parallel)_{c} \le (\parallel [/mm] x [mm] \parallel)_{c} [/mm] + [mm] (\parallel [/mm] y [mm] \parallel)_{c} [/mm] (City-Bloc-Metrik) |
Hi, also ich hab hier diese beiden Aufgaben und ich will wissen, ob mein Beweis so möglich ist.
ad a)
[mm] \parallel [/mm] x+y [mm] \parallel \le \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] + [mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel
[/mm]
Ausformulieren:
[mm] \wurzel{(x_{1}+y_{1})^2+(x_{2}+y_{2})^2} \le \wurzel{(x_{1})^2+(x_{2})^2} [/mm] + [mm] \wurzel{(y_{1})^2+(y_{2})^2} [/mm] | [mm] ()^2
[/mm]
ich kürze mal etwas ab
[mm] \gdw x_{1}^2 [/mm] + [mm] 2*x_{1}*y_{1} [/mm] + [mm] y_{2}^2 [/mm] + [mm] 2*x_{2}*y_{2}+ y_{2}^2 \le x_{1}^2 [/mm] + [mm] x_{2}^2 [/mm] + [mm] 2*\wurzel{(x_{1}^2+x_{2}^2}*\wurzel{(y_{1}^2+y_{2}^2} [/mm] + [mm] y_{1}^2 [/mm] + [mm] y_{2}^2
[/mm]
Kürzen liefert:
[mm] \gdw x_{1}*y_{1} [/mm] + [mm] x_{2}*y_{2} \le \wurzel{(x_{1}^2 + x_{2}^2) * (y_{1}^2 + y_{2}^2)} [/mm] | [mm] ()^2
[/mm]
Kürzen liefert (ich spare mir ein paar Schritte)
[mm] \gdw 2*x_{1}*y_{1}*x_{2}*y_{2} \le x_{1}^2*y_{2}^2 [/mm] + [mm] x_{2}^2*y_{1}^2
[/mm]
Am Ende kommt dann raus:
[mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le (x_{1}*y_{2} [/mm] - [mm] x_{2}*y_{1})^2
[/mm]
Wahr, da das Quadrat eines Terms immer 0 [mm] \le [/mm] ist. q.e.d.
b) [mm] (\parallel [/mm] x+y [mm] \parallel)_{c} \le (\parallel [/mm] x [mm] \parallel)_{c} [/mm] + [mm] (\parallel [/mm] y [mm] \parallel)_{c}
[/mm]
Ausformulieren:
|x1+y1| + |x2+y2| [mm] \le [/mm] |x1| + |x2| + |y1| + |y2| | [mm] ()^2
[/mm]
Dann habe ich links einen langen Ausdruck und rechts ebenfalls. Ich kürze das dann.
[mm] \gdw [/mm] 2*(|x1+y1|)*(|x2|+|y2|) [mm] \le [/mm] 2*x1x2 + 2*x1y2 + 2*x2y1 + 2*y1y2 | :2
[mm] \gdw (|x_{1}+y_{1}|)*(|x_{2}|+|y_{2}|) \le x_{1}x_{2} [/mm] + [mm] x_{1}y_{2} [/mm] + [mm] x_{2}y_{1} [/mm] + [mm] y_{1}y_{2}
[/mm]
Kürzen liefert:
[mm] \gdw x_{1}x_{2} [/mm] + [mm] x_{1}y_{2} [/mm] + [mm] x_{2}y_{1} [/mm] + [mm] y_{1}y_{2} \le x_{1}x_{2} [/mm] + [mm] x_{1}y_{2} [/mm] + [mm] x_{2}y_{1} [/mm] + [mm] y_{1}y_{2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le [/mm] 0
Wahr! q.e.d.
Habe ich einen Fehler gemacht oder könnte ich das so in einer Klausur auch machen?
GLG Dana
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:34 Di 16.07.2013 | | Autor: | hippias |
Ich sehe eine Schwierigkeit darin, dass der Uebergang zum Quadrat die Loesungsmenge vergroessern kann, d.h. quadrieren ist keine Aequivalenzumformung. Daher kann man nicht umbedingt aus der Richtigkeit der letzten Ungleichung auf die der ersten Ungleichung schliessen; speziell der Schritt [mm] $x_{1}\cdot{}y_{1} [/mm] $ + $ [mm] x_{2}\cdot{}y_{2} \le \wurzel{(x_{1}^2 + x_{2}^2) \cdot{} (y_{1}^2 + y_{2}^2)} [/mm] $ | $ [mm] ()^2 [/mm] $ ist in dieser Hinsicht fragwuerdig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Di 16.07.2013 | | Autor: | dana1986 |
ist der andere Beweis denn richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Di 16.07.2013 | | Autor: | hippias |
> Ausformulieren:
> |x1+y1| + |x2+y2| $ [mm] \le [/mm] $ |x1| + |x2| + |y1| + |y2| | $ [mm] ()^2 [/mm] $
> Dann habe ich links einen langen Ausdruck und rechts ebenfalls. Ich kürze das dann.
> $ [mm] \gdw [/mm] $ 2*(|x1+y1|)*(|x2|+|y2|) $ [mm] \le [/mm] $ 2*x1x2 + 2*x1y2 + 2*x2y1 + 2*y1y2 | :2
Wo sind denn die ganzen Betraege geblieben? Muesste auf der rechten Seite nicht $2*|x1||x2| + [mm] \ldots$ [/mm] etc. stehen? Und links $|x2+y2|$ statt $|x2|+|y2|$?
> $ [mm] \gdw (|x_{1}+y_{1}|)\cdot{}(|x_{2}|+|y_{2}|) \le x_{1}x_{2} [/mm] $ + $ [mm] x_{1}y_{2} [/mm] $ + $ [mm] x_{2}y_{1} [/mm] $ + $ [mm] y_{1}y_{2} [/mm] $
> Kürzen liefert:
> $ [mm] \gdw x_{1}x_{2} [/mm] $ + $ [mm] x_{1}y_{2} [/mm] $ + $ [mm] x_{2}y_{1} [/mm] $ + $ [mm] y_{1}y_{2} \le x_{1}x_{2} [/mm] $ + $ [mm] x_{1}y_{2} [/mm] $ + $ [mm] x_{2}y_{1} [/mm] $ + $ [mm] y_{1}y_{2} [/mm] $
Ich verstehe hier nicht wie Du die Betrage aufgeloest hast.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:04 Mi 17.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei n = 2 und x = [mm](x_{1}, x_{2})[/mm] und y = [mm](y_{1}, y_{2})[/mm]
> Vektoren des [mm]\IR^2.[/mm]
>
> Beweisen Sie:
>
> a) [mm]\parallel[/mm] x+y [mm]\parallel \le \parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] +
> [mm]\parallel[/mm] y [mm]\parallel[/mm] (euklidischer Abstand)
>
> b) [mm](\parallel[/mm] x+y [mm]\parallel)_{c} \le (\parallel[/mm] x
> [mm]\parallel)_{c}[/mm] + [mm](\parallel[/mm] y [mm]\parallel)_{c}[/mm]
> (City-Bloc-Metrik)
> Hi, also ich hab hier diese beiden Aufgaben und ich will
> wissen, ob mein Beweis so möglich ist.
>
> ad a)
>
> [mm]\parallel[/mm] x+y [mm]\parallel \le \parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] +
> [mm]\parallel[/mm] y [mm]\parallel[/mm]
>
> Ausformulieren:
>
> [mm]\wurzel{(x_{1}+y_{1})^2+(x_{2}+y_{2})^2} \le \wurzel{(x_{1})^2+(x_{2})^2}[/mm]
> + [mm]\wurzel{(y_{1})^2+(y_{2})^2}[/mm] | [mm]()^2[/mm]
>
> ich kürze mal etwas ab
> [mm]\gdw x_{1}^2[/mm] + [mm]2*x_{1}*y_{1}[/mm] + [mm]y_{2}^2[/mm] + [mm]2*x_{2}*y_{2}+ y_{2}^2 \le x_{1}^2[/mm]
> + [mm]x_{2}^2[/mm] +
> [mm]2*\wurzel{(x_{1}^2+x_{2}^2}*\wurzel{(y_{1}^2+y_{2}^2}[/mm] +
> [mm]y_{1}^2[/mm] + [mm]y_{2}^2[/mm]
>
> Kürzen liefert:
>
> [mm]\gdw x_{1}*y_{1}[/mm] + [mm]x_{2}*y_{2} \le \wurzel{(x_{1}^2 + x_{2}^2) * (y_{1}^2 + y_{2}^2)}[/mm]
> | [mm]()^2[/mm]
Bevor Du hier quadrierst, solltes Du 2 Fälle unterscheiden:
Fall 1: [mm] x_{1}*y_{1}+x_{2}*y_{2}<0. [/mm] Dann ist alles klar.
Fall 2: [mm] x_{1}*y_{1}+x_{2}*y_{2} \ge [/mm] 0. Jetzt darfst Du quadrieren.
>
> Kürzen liefert (ich spare mir ein paar Schritte)
>
> [mm]\gdw 2*x_{1}*y_{1}*x_{2}*y_{2} \le x_{1}^2*y_{2}^2[/mm] +
> [mm]x_{2}^2*y_{1}^2[/mm]
>
> Am Ende kommt dann raus:
>
> [mm]\gdw[/mm] 0 [mm]\le (x_{1}*y_{2}[/mm] - [mm]x_{2}*y_{1})^2[/mm]
>
> Wahr, da das Quadrat eines Terms immer 0 [mm]\le[/mm] ist. q.e.d.
>
> b) [mm](\parallel[/mm] x+y [mm]\parallel)_{c} \le (\parallel[/mm] x
> [mm]\parallel)_{c}[/mm] + [mm](\parallel[/mm] y [mm]\parallel)_{c}[/mm]
>
> Ausformulieren:
>
> |x1+y1| + |x2+y2| [mm]\le[/mm] |x1| + |x2| + |y1| + |y2| | [mm]()^2[/mm]
Oh Gott ! Warum denn quadrieren ???
Die Dreiecksungleichung gibt Dir doch:
[mm] |x_1+y_1| \le |x_1|+|y_1| [/mm] und [mm] |x_2+y_2| \le |x_2|+|y_2|
[/mm]
>
> Dann habe ich links einen langen Ausdruck und rechts
> ebenfalls. Ich kürze das dann.
>
> [mm]\gdw[/mm] 2*(|x1+y1|)*(|x2|+|y2|) [mm]\le[/mm] 2*x1x2 + 2*x1y2 + 2*x2y1 +
> 2*y1y2 | :2
>
> [mm]\gdw (|x_{1}+y_{1}|)*(|x_{2}|+|y_{2}|) \le x_{1}x_{2}[/mm] +
> [mm]x_{1}y_{2}[/mm] + [mm]x_{2}y_{1}[/mm] + [mm]y_{1}y_{2}[/mm]
>
> Kürzen liefert:
>
> [mm]\gdw x_{1}x_{2}[/mm] + [mm]x_{1}y_{2}[/mm] + [mm]x_{2}y_{1}[/mm] + [mm]y_{1}y_{2} \le x_{1}x_{2}[/mm]
> + [mm]x_{1}y_{2}[/mm] + [mm]x_{2}y_{1}[/mm] + [mm]y_{1}y_{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] 0 [mm]\le[/mm] 0
>
> Wahr! q.e.d.
>
> Habe ich einen Fehler gemacht
Einige ! Du quadrierst was das Zeug hält, ob man darf oder nicht, ob es sinnvoll ist oder nicht.
Beträge unterschlägst Du sehr großzügig !
> oder könnte ich das so in
> einer Klausur auch machen?
Nie und nimmer !
FRED
>
> GLG Dana
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Fr 19.07.2013 | | Autor: | dana1986 |
könntet ihr mir dann sagen, wie ihr den Beweis gemacht hättet? Ich möchte das gerne anhand einer guten Lösung nachvollziehen können.
Hat jemand ein gutes Buch um Beweise zu lernen? Bereite mich gerade auf mein Examen vor, habe allerdings wegen meines anderen Faches seit 4 Semestern nicht so richtig Mathe gehabt.
Liebe Grüße
Dana
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Fr 19.07.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Fred hat dir doch schon den entscheidenden Beweisschritt geschrieben:
"Die Dreiecksungleichung gibt Dir doch: ......
Gruss leduart
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