Euklidischer Algorithmus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] R=\mathbb{F}_{2}[T] [/mm] und [mm] a=T^{7}+T^{5}+T^{4}+1 [/mm] und [mm] b=T^{5}+T^{3}+T^{2}+1.
[/mm]
Man soll mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den ggT d bestimmen und d in der Form d=ua+vb mit [mm] u,v\in [/mm] R schreiben. |
Hallo,
ich hab bei der Aufgabe mal folgendermaßen angefangen:
[mm] T^{7}+T^{5}+T^{4}+1=T^{2}(T^{5}+T^{3}+T^{2}+1)+(-T^{2}+1)
[/mm]
Als nächstes muss ich [mm] T^{5}+T^{3}+T^{2}+1 [/mm] als Produkt von [mm] -T^{2}+1 [/mm] darstellen und da ergibt sich bei mir ein Problem. Dafür muss ich doch
[mm] (T^{5}+T^{3}+T^{2}+1)/(-T^{2}+1) [/mm] berechnen. Ich komme da allerdings nur so weit:
[mm] (T^{5}+T^{3}+T^{2}+1)/(-T^{2}+1)=-T^{3}. [/mm]
[mm] \underline{-(-T^{5}-T^{3})\,\,\,\,\,\,}
[/mm]
[mm] 2T^{3}+T^{2}+1
[/mm]
Wie man jetzt sieht bleibt bei der Division nach dem ersten Schritt [mm] 2T^{3} [/mm] über. Aber als Koeffizient darf doch später keine 2 vorkommen, da ich mich im [mm] \mathbb{F}_{2} [/mm] befinde. Ich dachte erst, dass ich das dann gleich null setzen muss, aber dann passt garnichts mehr.
Wie muss ich [mm] T^{5}+T^{3}+T^{2}+1 [/mm] also als Produkt von [mm] -T^{2}+1 [/mm] darstellen?
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Hallo!
Als erstes: Im Ring [mm] \IF_{2} [/mm] gibt es nur die Zahlen 0 und 1. Demzufolge kannst du jedes "minus" getrost durch ein "plus" ersetzen. Es ist also auch [mm] (-T^{2}+1) [/mm] = [mm] (T^{2}+1) [/mm] und somit
[mm] $(T^{5} [/mm] + [mm] T^{3} [/mm] + [mm] T^{2}+1) [/mm] : [mm] (T^{2}+1) [/mm] = [mm] T^{3} \mbox{ Rest } T^{2} [/mm] + 1$
Man kommt also letztendlich darauf, dass der $ggT = [mm] T^{2}+1$ [/mm] ist.
Viele Grüße, Stefan.
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Oh stimmt. Dann ist das aber eine sehr kurze Rechnung.
Dann kommt als nächster Schritt also [mm] T^{5}+T^{3}+T^{2}+1=(T^{3}+1)(T^{2}+1). [/mm] Jetzt hat man bereits den ggT.
Wenn ich das dann in der Form d=ua+vb darstelle müsste das so aussehen:
[mm] T^{2}+1=1\cdot(T^{7}+T^{5}+T^{4}+1)+T^{2}(T^{5}+T^{3}+T^{2}+1)
[/mm]
richtig?
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Hallo T_sleeper,
> Oh stimmt. Dann ist das aber eine sehr kurze Rechnung.
> Dann kommt als nächster Schritt also
> [mm]T^{5}+T^{3}+T^{2}+1=(T^{3}+1)(T^{2}+1).[/mm] Jetzt hat man
> bereits den ggT.
>
> Wenn ich das dann in der Form d=ua+vb darstelle müsste das
> so aussehen:
>
> [mm]T^{2}+1=1\cdot(T^{7}+T^{5}+T^{4}+1)+T^{2}(T^{5}+T^{3}+T^{2}+1)[/mm]
>
> richtig?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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