Euler-Lagrange bestimmen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme die Euler-Lagrange-Gleichungen zu dem Variationsintegral:
[mm] $$\int_{\Omega} \left( \sum_{i,j=1}^n D_iD_j u \right)^2 \; [/mm] dx$$ |
Hallo,
also ich würde sagen ich schnappe mir so eine Funktion [mm] \varphi [/mm] mit kompaktem Träger und berechne:
[mm] $$\frac{d}{d\varepsilon}\int_{\Omega} \left( \sum_{i,j=1}^n (D_iD_j u + \varepsilon D_iD_j \varphi )\right)^2 \; [/mm] dx [mm] \; |_{\varepsilon=0}$$
[/mm]
Ist das so richtig aufgestellt?
Nun kann ich ja das [mm] d/d\varepsilon [/mm] unter das Integral ziehen. Aber ich weiß nicht wie ich das differenzieren soll wegen den ganzen Indizes...
Kann ich einfach schreiben:
$$2* [mm] \sum_{i,j=1}^n (D_iD_j [/mm] u + [mm] \varepsilon D_iD_j \varphi [/mm] ) * [mm] \sum_{i,j=1}^n D_iD_j \varphi$$
[/mm]
?
Danke!
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Hi,
> Bestimme die Euler-Lagrange-Gleichungen zu dem
> Variationsintegral:
>
> [mm]\int_{\Omega} \left( \sum_{i,j=1}^n D_iD_j u \right)^2 \; dx[/mm]
>
> Hallo,
>
> also ich würde sagen ich schnappe mir so eine Funktion
> [mm]\varphi[/mm] mit kompaktem Träger und berechne:
>
> [mm]\frac{d}{d\varepsilon}\int_{\Omega} \left( \sum_{i,j=1}^n (D_iD_j u + \varepsilon D_iD_j \varphi )\right)^2 \; dx \; |_{\varepsilon=0}[/mm]
>
> Ist das so richtig aufgestellt?
sieht gut aus.
> Nun kann ich ja das [mm]d/d\varepsilon[/mm] unter das Integral
> ziehen. Aber ich weiß nicht wie ich das differenzieren
> soll wegen den ganzen Indizes...
der ableitungs-operator ist doch linear, also einfach in die summe reinziehen!
> Kann ich einfach schreiben:
>
> [mm]2* \sum_{i,j=1}^n (D_iD_j u + \varepsilon D_iD_j \varphi ) * \sum_{i,j=1}^n D_iD_j \varphi[/mm]
>
> ?
Genau, und der term mit [mm] $\epsilon$ [/mm] faellt weg, weil er an der stelle [mm] $\epsilon=0$ [/mm] ausgewertet wird.
>
> Danke!
gruss
matthias
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Ok, Danke Dir!
Aber wie kann ich jetzt das ganze so umschreiben, dass ich [mm] \varphi [/mm] alleine stehen habe und das Fundamentallemma anwenden kann. Erst dann komme ich ja auf die Euler-Lagrange Gleichung.
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> Ok, Danke Dir!
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> Aber wie kann ich jetzt das ganze so umschreiben, dass ich
> [mm]\varphi[/mm] alleine stehen habe und das Fundamentallemma
> anwenden kann. Erst dann komme ich ja auf die
> Euler-Lagrange Gleichung.
Wie immer eigentlich: partiell integrieren! waere natuerlich netter, wenn du nur laplace-operatoren da stehen haettest statt den kompletten zweiten ableitungen, aber einen grossen unterschied macht es nicht. Die formel fuer partielle integration im [mm] $R^n$ [/mm] kennst du doch, oder? Dadurch, dass [mm] $\varphi$ [/mm] kompakten traeger hat, fallen alle randintegrale weg und alles wird ziemlich straightforward.
gruss
matthias
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Hallo Matthias,
prinzipiell ist mir die mehrdimensionale partielle Integration schon bekannt. Mich verwirren nur die vielen Indizes und die vielen D. Aber ich versuchs mal:
Also wir haben ja:
$$ 2 [mm] \int_{\Omega} \sum_{i,j=1}^n (D_iD_j [/mm] u [mm] \cdot{} D_iD_j \varphi)$$
[/mm]
Jetzt wälze ich die Ableitungen von dem [mm] \varphi [/mm] rüber und bekomme:
$$ -2 [mm] \int_{\Omega} \sum_{i,j=1}^n D_iD_j [/mm] ( [mm] D_iD_j [/mm] u ) [mm] \varphi \stackrel{\text{Schwarz}}{=} [/mm] -2 [mm] \int_{\Omega} \sum_{i,j=1}^n D_i^2D_j^2 [/mm] u [mm] \cdot \varphi$$
[/mm]
Stimmt dies so?
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Hi ,
> Hallo Matthias,
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> prinzipiell ist mir die mehrdimensionale partielle
> Integration schon bekannt. Mich verwirren nur die vielen
> Indizes und die vielen D. Aber ich versuchs mal:
>
> Also wir haben ja:
>
> [mm]2 \int_{\Omega} \sum_{i,j=1}^n (D_iD_j u \cdot{} D_iD_j \varphi)[/mm]
>
Hm, das ist aber nicht das, was in deinem ersten posting unten stand. Dort stand doch
[math]\int \sum_{i,j}\ldots \,\cdot \sum_{i,j}\ldots [/math],
oder? Das ist ein grosser unterschied, schliesslich ist ja auch [mm] $(a+b)^2\ne a^2+b^2$.
[/mm]
> Jetzt wälze ich die Ableitungen von dem [mm]\varphi[/mm] rüber und
> bekomme:
>
> [mm]-2 \int_{\Omega} \sum_{i,j=1}^n D_iD_j ( D_iD_j u ) \varphi \stackrel{\text{Schwarz}}{=} -2 \int_{\Omega} \sum_{i,j=1}^n D_i^2D_j^2 u \cdot \varphi[/mm]
>
>
> Stimmt dies so?
>
Prinzipiell ja, nur dass du nach korrektur eine summe ueber 4 indizes bekommen solltest...
gruss
Matthias
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Hoppla, da hast du natürlich recht.
Also wahrscheinlich ehr so: (??)
$$ 2 [mm] \int_{\Omega} \sum_{i,j=1}^n D_iD_j [/mm] u [mm] \cdot{} \sum_{i,j=1}^nD_iD_j \varphi [/mm] =- 2 [mm] \int_{\Omega} \sum_{i,j,k,l=1}^n D_iD_jD_kD_l [/mm] u [mm] \cdot{} \varphi [/mm] $$
Danke nochmal!
LG Patrick
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> Hoppla, da hast du natürlich recht.
>
> Also wahrscheinlich ehr so: (??)
>
> [mm]2 \int_{\Omega} \sum_{i,j=1}^n D_iD_j u \cdot{} \sum_{i,j=1}^nD_iD_j \varphi =- 2 \int_{\Omega} \sum_{i,j,k,l=1}^n D_iD_jD_kD_l u \cdot{} \varphi[/mm]
>
das minus sollte bei zweimaliger partieller integration eigentlich wegfallen...
jetzt aber gute nacht
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:16 Di 20.10.2009 | | Autor: | XPatrickX |
Ok 
Vielen Dank Matthias!
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