Euler- und Lagrange-Koord. < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Mi 23.02.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
bzgl. ![[]](/images/popup.gif) http://www.mp.haw-hamburg.de/pers/Ihl/HFEM/PDF/kinematik_3D.pdf habe ich folgende Fragen, denn ich bin mir nicht sicher, ob ich das richtig verstehe:
Zum einen betrachtet man dort das normale euklidische Koordinatensystem des [mm] $\IR^2\,.$ [/mm] Nun betrachtet man Bewegungen/Verformungen des (Einheits-)Quadrates (Ecken [mm] $(0,0)^T, (1,0)^T, (1,1)^T$ [/mm] und [mm] $(0,1)^T$) [/mm] bzgl. dieses Koordinatensystems und beschreibt diese auch bzgl. der Koordinaten dieses Koordinatensystems.
(Zum Zeitpunkt [mm] $t=0\,$ [/mm] ist das Material gerade dieses Quadrat, zum Zeitpunkt [mm] $t=1\,$ [/mm] wurde es in 1-Richtung um den Faktor zwei gestreckt).
Diese Beschreibung ist die eulersche Beschreibung. [mm] $x=x^L$ [/mm] ist die Koordinate bzgl. der Lagrangeschen Beschreibung (also Beschreibung bzgl. des materialfesten Koordinatensystems), und [mm] $X=X^E$ [/mm] die im raumfesten System.
Der Punkt [mm] $x=x^L=(1',1')^T$ [/mm] (die Striche sollen andeuten, dass die Koordinaten bzgl. des Lagrangeschen, also materialfesten, Systems gemeint sind) hat in Eulerkoordinaten folgende Darstellung bzgl. der ersten Achse des festen Eulerschen Koordinatensystems:
[mm] $$X_1^E(x,t=0)=1\,,$$
[/mm]
[mm] $$X_1^E(x,t=1)=2\,.$$
[/mm]
Der Punkt [mm] $x=x^L=(\left({1 \over 2}\right)',\;\,1')^T$ [/mm] hat in Eulerkoordinaten folgende Darstellung:
[mm] $$X_1^E(x,t=0)=1/2\,,$$
[/mm]
[mm] $$X_1^E(x,t=1)=1\,.$$
[/mm]
Nun umgekehrt:
Der Raumpunkt [mm] $X=X^E=(1,1)^T$ [/mm] gehört zum Zeitpunkt [mm] $t=0\,$ [/mm] zum Material und nach der Streckung gilt für diesen
[mm] $$x^L_1(X,t=1)=(1/2)'\,,$$
[/mm]
und vorher galt
[mm] $$x^L_1(X,t=0)=1'\,.$$
[/mm]
Der Raumpunkt [mm] $X=X^E=(2,1)^T$ [/mm] hat nach der Streckung in der ersten Komponente bzgl. des Lagrangeschen Koordinatensystems die Koordinaten [mm] $(1',1')\,,$ [/mm] d.h.
[mm] $$x^L(X,t=1)=(1',1')\,.$$
[/mm]
Frage: Was ist denn hier [mm] $x^L(X,t=0)$? [/mm] Gilt [mm] $x^L_1(X,t=0)=2'\,$ [/mm] und [mm] $x^L(X,t=1)=1'$?
[/mm]
Versteh' ich das überhaupt richtig? Zumal ich ständig verwirrt bin, was denn nun die Eulersche und die Lagrangesche Beschreibung ist. (Vielleicht Eselsbrücke: Euler [mm] $\to$ [/mm] Fester Koordinatenraum (EF), Lagrange [mm] $\to$ [/mm] Materialfestes Koordinatensystem (LM)?).
Also wenn ich das richtig verstehe, dann heißt das, dass man bei Lagrange zeitlich die Basisvektoren, die man an dem mitgenommenen Raumpunkt anlegt, variiert (in obigem Beispiel ändert sich eigentlich nur die Länge des einen Basisvektors bzgl. des festen Raumsystems), wärend man bei der Eulerschen Beschreibung eigentlich die einzelnen Punkte der Materie als Bewegung bzgl. des festen Raumsystems auffasst.
Was mich ein wenig irritiert, ist, dass meine Rechnungen oben eigentlich umgekehrt in dem Link von oben stehen. Also die Koordinatenumrechnungen passen, nur sind meine Lagrange-Koordinaten dort die Eulerschen und umgekehrt. Das ist mir total suspekt ^^
Vielleicht kann mir jmd. das ganze ein wenig näher erläutern, und wenn ich da einen Denkfehler habe, mir vielleicht sagen, wo ich diesen mache und wie's nun richtig geht. Denn mich interessiert zur Zeit auch die Hydrodynamik, nur hoffe ich, dass ich da nicht schon an einem mangelnden Grundlagenverständnis scheitere ^^
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:10 Do 24.02.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Marcel!
> Hallo,
>
> bzgl.
> http://www.mp.haw-hamburg.de/pers/Ihl/HFEM/PDF/kinematik_3D.pdf
> habe ich folgende Fragen, denn ich bin mir nicht sicher, ob
> ich das richtig verstehe:
>
> Zum einen betrachtet man dort das normale euklidische
> Koordinatensystem des [mm]\IR^2\,.[/mm] Nun betrachtet man
> Bewegungen/Verformungen des (Einheits-)Quadrates (Ecken
> [mm](0,0)^T, (1,0)^T, (1,1)^T[/mm] und [mm](0,1)^T[/mm]) bzgl. dieses
> Koordinatensystems und beschreibt diese auch bzgl. der
> Koordinaten dieses Koordinatensystems.
> (Zum Zeitpunkt [mm]t=0\,[/mm] ist das Material gerade dieses
> Quadrat, zum Zeitpunkt [mm]t=1\,[/mm] wurde es in 1-Richtung um den
> Faktor zwei gestreckt).
> Diese Beschreibung ist die eulersche Beschreibung. [mm]x=x^L[/mm]
> ist die Koordinate bzgl. der Lagrangeschen Beschreibung
> (also Beschreibung bzgl. des materialfesten
> Koordinatensystems), und [mm]X=X^E[/mm] die im raumfesten System.
>
> Der Punkt [mm]x=x^L=(1',1')^T[/mm] (die Striche sollen andeuten,
> dass die Koordinaten bzgl. des Lagrangeschen, also
> materialfesten, Systems gemeint sind) hat in
> Eulerkoordinaten folgende Darstellung bzgl. der ersten
> Achse des festen Eulerschen Koordinatensystems:
> [mm]X_1^E(x,t=0)=1\,,[/mm]
> [mm]X_1^E(x,t=1)=2\,.[/mm]
>
> Der Punkt [mm]x=x^L=(\left({1 \over 2}\right)',\;\,1')^T[/mm] hat in
> Eulerkoordinaten folgende Darstellung:
> [mm]X_1^E(x,t=0)=1/2\,,[/mm]
> [mm]X_1^E(x,t=1)=1\,.[/mm]
>
> Nun umgekehrt:
> Der Raumpunkt [mm]X=X^E=(1,1)^T[/mm] gehört zum Zeitpunkt [mm]t=0\,[/mm]
> zum Material und nach der Streckung gilt für diesen
> [mm]x^L_1(X,t=1)=(1/2)'\,,[/mm]
> und vorher galt
> [mm]x^L_1(X,t=0)=1'\,.[/mm]
>
> Der Raumpunkt [mm]X=X^E=(2,1)^T[/mm] hat nach der Streckung in der
> ersten Komponente bzgl. des Lagrangeschen
> Koordinatensystems die Koordinaten [mm](1',1')\,,[/mm] d.h.
> [mm]x^L(X,t=1)=(1',1')\,.[/mm]
>
> Frage: Was ist denn hier [mm]x^L(X,t=0)[/mm]? Gilt [mm]x^L_1(X,t=0)=2'\,[/mm]
> und [mm]x^L(X,t=1)=1'[/mm]?
>
> Versteh' ich das überhaupt richtig? Zumal ich ständig
> verwirrt bin, was denn nun die Eulersche und die
> Lagrangesche Beschreibung ist. (Vielleicht Eselsbrücke:
> Euler [mm]\to[/mm] Fester Koordinatenraum (EF), Lagrange [mm]\to[/mm]
> Materialfestes Koordinatensystem (LM)?).
>
> Also wenn ich das richtig verstehe, dann heißt das, dass
> man bei Lagrange zeitlich die Basisvektoren, die man an dem
> mitgenommenen Raumpunkt anlegt, variiert (in obigem
> Beispiel ändert sich eigentlich nur die Länge des einen
> Basisvektors bzgl. des festen Raumsystems), wärend man bei
> der Eulerschen Beschreibung eigentlich die einzelnen Punkte
> der Materie als Bewegung bzgl. des festen Raumsystems
> auffasst.
>
> Was mich ein wenig irritiert, ist, dass meine Rechnungen
> oben eigentlich umgekehrt in dem Link von oben stehen. Also
> die Koordinatenumrechnungen passen, nur sind meine
> Lagrange-Koordinaten dort die Eulerschen und umgekehrt. Das
> ist mir total suspekt ^^
Das liegt daran, dass du die Bezeichnungen vertauscht hast; in dem zitierten Artikel sind die raumfesten Koordinaten mit Kleinbuchstaben, die körperfesten Koordinaten mit Großbuchstaben bezeichnet, während es bei dir umgekehrt ist.
Ich vermute, du hast die Koordinaten mit dem Begriff der Euler- bzw. Lagrange-Notation verwechselt: in der Eulernotation werden die materiellen (Lagrange-) Koordinaten durch die raumfesten (Euler-) Koordinaten ausgerückt, in der Lagrange-Notation ist es umgekehrt.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:22 Do 24.02.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Rainer,
> > Was mich ein wenig irritiert, ist, dass meine Rechnungen
> > oben eigentlich umgekehrt in dem Link von oben stehen. Also
> > die Koordinatenumrechnungen passen, nur sind meine
> > Lagrange-Koordinaten dort die Eulerschen und umgekehrt. Das
> > ist mir total suspekt ^^
>
> Das liegt daran, dass du die Bezeichnungen vertauscht hast;
> in dem zitierten Artikel sind die raumfesten Koordinaten
> mit Kleinbuchstaben, die körperfesten Koordinaten mit
> Großbuchstaben bezeichnet, während es bei dir umgekehrt
> ist.
>
> Ich vermute, du hast die Koordinaten mit dem Begriff der
> Euler- bzw. Lagrange-Notation verwechselt: in der
> Eulernotation werden die materiellen (Lagrange-)
> Koordinaten durch die raumfesten (Euler-) Koordinaten
> ausgerückt, in der Lagrange-Notation ist es umgekehrt.
ja genau. Dann hab' ich das auch missverstanden, denn ich hatte es genau anders herum interpretiert. Danke Dir!
Gruß,
Marcel
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