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habe hier bei einer überlegung ein totales brett vorm kopf. ich hoffe, dass mir hier jemand weiterhelfen kann.
also ich weiß, dass gilt: [mm] e^{i*\pi}=-1
[/mm]
was ist also an der folgenden rechnung falsch:
[mm] e^{i*\pi}=e^{i*\pi*2/2}=(e^{i*\pi*2})^{1/2}=(cos(2*\pi)+i*sin(2*\pi))^{1/2}=1^{1/2}=1
[/mm]
vielen dank im voraus
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Hallo Benedikt17,
> habe hier bei einer überlegung ein totales brett vorm kopf.
> ich hoffe, dass mir hier jemand weiterhelfen kann.
> also ich weiß, dass gilt: [mm]e^{i*\pi}=-1[/mm]
> was ist also an der folgenden rechnung falsch:
> [mm]e^{i*\pi}=e^{i*\pi*2/2}=(e^{i*\pi*2})^{1/2}=(cos(2*\pi)+i*sin(2*\pi))^{1/2}=1^{1/2}=1[/mm]
Da Du die Wurzel ziehst, stimmt obige Gleichung so nicht.
[mm](e^{i*\pi*2})^{1/2}=(cos(2*\pi)+i*sin(2*\pi))^{1/2}=cos(\pi\;+\;2\;k\;\pi)+i*sin(\pi\;+\;2\;k\;\pi)\;=\;cos(\pi\;+\;2\;k\;\pi)=\;-1[/mm]
Gruß
MathePower
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danke, aber ich versteh dabei nicht, weshalb gilt
[mm] $(cos(2\cdot{}\pi)+i\cdot{}sin(2\cdot{}\pi))^{1/2}=cos(\pi\;+\;2\;k\;\pi)+i\cdot{}sin(\pi\;+\;2\;k\;\pi)\; [/mm] $
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Hallo Benedikt17,
> danke, aber ich versteh dabei nicht, weshalb gilt
> [mm](cos(2\cdot{}\pi)+i\cdot{}sin(2\cdot{}\pi))^{1/2}=cos(\pi\;+\;2\;k\;\pi)+i\cdot{}sin(\pi\;+\;2\;k\;\pi)\;[/mm]
leiten wir das mal her:
[mm]
\begin{gathered}
\left( {\cos \;\left( {\pi \; + \;2\;k\;\pi } \right)\; + \;i\sin \;\left( {\pi \; + \;2\;k\;\pi } \right)} \right)^2 \; = \hfill \\
\cos ^2 \;\left( {\pi \; + \;2\;k\;\pi } \right)\; + \;2\;i\;\cos \;\left( {\pi \; + \;2\;k\;\pi } \right)\;\sin \;\left( {\pi \; + \;2\;k\;\pi } \right)\; + \;i^2 \sin ^2 \;\left( {\pi \; + \;2\;k\;\pi } \right) \hfill \\
= \;\left( {\cos ^2 \;\left( {\pi \; + \;2\;k\;\pi } \right)\; - \;\sin ^2 \;\left( {\pi \; + \;2\;k\;\pi } \right)} \right)\; + \;2\;i\;\cos \;\left( {\pi \; + \;2\;k\;\pi } \right)\;\sin \;\left( {\pi \; + \;2\;k\;\pi } \right) \hfill \\
= \;\cos \;\left( {2\;\pi \; + \;4\;k\;\pi } \right)\; + \;i\;\sin \;\left( {2\;\pi \; + \;4\;k\;\pi } \right) \hfill \\
= \;\cos \;\left( {2\;\pi } \right)\; + \;i\;\sin \;\left( {2\;\pi } \right) \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
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