Eulersche Phi Funktion < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Do 24.05.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Zeige für alle m, n [mm] \in \IN [/mm] und d = g g T( m, n), dass
[mm] \phi( [/mm] m n ) = [mm] \phi(m)*\phi(n) \frac{d}{\phi(d)} [/mm] |
Für d=1 [mm] \phi [/mm] (m n) = [mm] \phi(m)*\phi(n)
[/mm]
In Vorlesung gezeigt!
d| m: [mm] \exists [/mm] a [mm] \in \IZ: [/mm] m = a * d
d| n: [mm] \exists [/mm] b [mm] \in \IZ: [/mm] n = b * d
aus Vorlesung: ggT( m/d ,n/ d) = 1
dh. [mm] \phi((m*n)/d^2) =\phi(m/d [/mm] * n/d)= [mm] \phi(m/d) [/mm] * [mm] \phi(n/d)
[/mm]
Ist das ein brauchbarer Ansatz?
Wie machen ich werter?
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hi,
bekannt ist [mm]\varphi(n)=n\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right)[/mm]
Naja analog ist [mm]\varphi(mn) = mn \prod_{p \mid mn} \left( 1 - \frac 1p \right) = mn \frac{\prod_a \prod_b }{\prod_c}[/mm]
In [mm]\Pi_a[/mm] sammelst dudurchläuft der Index alle Teiler von m.
In [mm]\Pi_b[/mm] sammelst dudurchläuft der Index alle Teiler von n.
In [mm]\Pi_c[/mm] dividierst du durch das, was du zu viel oben multipliziert hast.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Do 24.05.2012 | | Autor: | quasimo |
hallo
> $ [mm] \varphi(mn) [/mm] = mn [mm] \prod_{p \mid mn} \left( 1 - \frac 1p \right) [/mm] = mn [mm] \frac{\prod_a \prod_b }{\prod_c} [/mm] $
der Hintere Teil ist mir etwas suspekt trotz erklärung ;)
p|mn d.h p teilt m oder n
[mm] \varphi(mn) [/mm] = mn [mm] \prod_{p \mid mn} \left( 1 - \frac 1p \right) [/mm] =m [mm] \prod_{p \mid m} \left( 1 - \frac 1p \right) [/mm] * n [mm] \prod_{p \mid n} \left( 1 - \frac 1p \right)
[/mm]
Was sollte ich hier "zuviel" haben??
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> hallo
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> > [mm]\varphi(mn) = mn \prod_{p \mid mn} \left( 1 - \frac 1p \right) = mn \frac{\prod_a \prod_b }{\prod_c}[/mm]
>
> der Hintere Teil ist mir etwas suspekt trotz erklärung ;)
>
> p|mn d.h p teilt m oder n
Nein. Es kann p beide Zahlen teilen, da m und n nicht teilerfremd sind.
>
> [mm]\varphi(mn)[/mm] = mn [mm]\prod_{p \mid mn} \left( 1 - \frac 1p \right)[/mm]
> =m [mm]\prod_{p \mid m} \left( 1 - \frac 1p \right)[/mm] * n
> [mm]\prod_{p \mid n} \left( 1 - \frac 1p \right)[/mm]
> Was sollte
> ich hier "zuviel" haben??
Die Teiler, die in beiden zahlen auftreten.
Mach dir klar, dass
[mm] \prod_{p \mid mn} \left( 1 - \frac 1p \right) = \frac{\prod_{p \mid m} \left( 1 - \frac 1p \right) \prod_{p \mid n} \left( 1 - \frac 1p \right)}{\prod_{p \mid d} \left( 1 - \frac 1p \right)}[/mm]
gilt.
edit: hab meinen vorherigen Beitrag ein wenig präzisiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:31 Fr 25.05.2012 | | Autor: | quasimo |
ah okay vielen dank.
lg
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