Eulersche Summenformel < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie: es gibt eine Konstante $A$, so dass [mm] $\summe_{k=2}^{n} \bruch{log(k)}{k}=\bruch{1}{2}\cdot (log(n))^2 [/mm] + A [mm] +O(\bruch{log(n)}{n})$ [/mm] |
Mein bisheriger Ansatz ist:
[mm] $\summe_{k=2}^{n} \bruch{log(k)}{k}-\integral_{1}^{n}{\bruch{log(t)}{t} dt}=\integral_{1}^{n}{(t-gaussklammer(t)) \cdot \bruch{1-log(t)}{t^{2}} dt}$
[/mm]
und das muss nun [mm] $=A+O(\bruch{log(n)}{n})$ [/mm] sein. Aber wie zeige ich das? Kann ich einfach
[mm] $\integral_{1}^{n}{(t-gaussklammer(t)) \cdot \bruch{1-log(t)}{t^{2}} dt}\leq \integral_{1}^{e}{1 \cdot \bruch{1-log(t)}{t^{2}} dt}+\integral_{e}^{n}{(-1) \cdot \bruch{1-log(t)}{t^{2}} dt}=\bruch{ln(e)}{e}+\bruch{ln(e)}{e}-\bruch{ln(n)}{n}=\bruch{2}{e}+O(\bruch{log(n)}{n})=A+O(\bruch{log(n)}{n})$
[/mm]
machen? Wie könnte das sonst gehen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 24.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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