Eulersche Summenformel < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechne mit Hilfe der Eulerschen Summenformel:
[mm] 1+2^{5}+...+n^{5} [/mm] |
Die Eulersche Summenformel (den Spezialfall) haben wir folgendermaßen definiert:
[mm] f(0)+f(1)+...+f(n)=\integral_{0}^{n}{f(x) dx}+\bruch{f(0)+f(n)}{2}+\integral_{0}^{n}{B_{1}(x)f'(x) dx}
[/mm]
wo [mm] B_{1}(x)=x-\bruch{1}{2}, [/mm] 0<=x<=1 und [mm] B_{1}(x+k) [/mm] = [mm] B_{1}(x) [/mm] für alle [mm] k\in\mathbb [/mm] Z
Wenn ich nun die endliche Summe einsetze habe ich Schwieirigkeiten mit den Bernoulli Zahlen:
[mm] \bruch{n^{6}}{6}+\bruch{n^{5}}{2}+\integral_{0}^{n}{B_{1}(x)5x^{4} dx}
[/mm]
Wie kann ich jetzt weiter agieren?
|
|
| |
|
Hallo Tsetsefliege,
> Berechne mit Hilfe der Eulerschen Summenformel:
>
> [mm]1+2^{5}+...+n^{5}[/mm]
> Die Eulersche Summenformel (den Spezialfall) haben wir
> folgendermaßen definiert:
>
> [mm]f(0)+f(1)+...+f(n)=\integral_{0}^{n}{f(x) dx}+\bruch{f(0)+f(n)}{2}+\integral_{0}^{n}{B_{1}(x)f'(x) dx}[/mm]
>
> wo [mm]B_{1}(x)=x-\bruch{1}{2},[/mm] 0<=x<=1 und [mm]B_{1}(x+k)[/mm] =
> [mm]B_{1}(x)[/mm] für alle [mm]k\in\mathbb[/mm] Z
Lies Dir mal dieses durch: ![[]](/images/popup.gif) Verallgemeinerung
Dort ist das Argument von [mm]B_{1}[/mm] bei [mm]R_{0}[/mm] anders angegeben.
>
> Wenn ich nun die endliche Summe einsetze habe ich
> Schwieirigkeiten mit den Bernoulli Zahlen:
>
> [mm]\bruch{n^{6}}{6}+\bruch{n^{5}}{2}+\integral_{0}^{n}{B_{1}(x)5x^{4} dx}[/mm]
>
> Wie kann ich jetzt weiter agieren?
>
Außerdem denke ich, daß diese Formel rekursiv anzuwenden ist.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Ich kenne die allgemeine Summenformel, bei meinen Übungen ist jedoch explizit nach der speziellen gefragt.
Mich irritiert lediglich dieser letzte Integralterm, ich weiß nicht wie ich [mm] B_{1}(x) [/mm] berechnen soll.
|
|
|
| |
|
Hallo Tsetsefliege,
> Ich kenne die allgemeine Summenformel, bei meinen Übungen
> ist jedoch explizit nach der speziellen gefragt.
>
> Mich irritiert lediglich dieser letzte Integralterm, ich
> weiß nicht wie ich [mm]B_{1}(x)[/mm] berechnen soll.
[mm]B_{1}\left(x\right)[/mm] ist doch gegeben.
Soll das trotzdem berechnet werden: Bernoulli-Polynome
Gruss
MathePower
|
|
|
|
