Eulersche Zahl < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Di 25.11.2014 | | Autor: | Lisa90 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für [mm] a_{n} [/mm] = [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n} [/mm] gilt:
e = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] |
Guten Tag,
ich habe die oben stehende Aufgabe zu lösen und habe auch schon einiges versucht:
Mein Ziel ist es zu zeigen, dass der Grenzwert der Folge [mm] a_{n} [/mm] = [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n} [/mm] bei der Eulerschen Zahl e liegt.
Dafür habe ich bisher gezeigt, dass die Folge monoton steigend ist, also gilt:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] > 1
Als nächstes will ich zeigen, dass sie beschränkt ist. Dafür ziehe ich die Summe von
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!} [/mm] = e
heran, um dann zu zeigen, dass meine Folge diesen Wert nie überschreitet, also durch e beschränkt ist.
Nach etwas umformen komme ich dann zu der Gleichung:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!} [/mm] > [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!} [/mm] * [mm] \bruch{n!}{(n-k)!*n^{k}} [/mm] = [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n}
[/mm]
Zu zeigen ist ja, dass für den Term [mm] \bruch{n!}{(n-k)!*n^{k}} [/mm] gilt:
[mm] \bruch{n!}{(n-k)!*n^{k}} [/mm] < 1
doch wie genau kann ich das hier zeigen, außer das einfach mit Zahlen auszuprobieren?
Wenn ich das alles habe weiß ich ja, dass meine Folge monoton und beschränkt und somit auch konvergent ist.
Muss ich nun noch zeigen, dass ich, falls ich bei [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n} [/mm] plötzlich [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n+1} [/mm] wähle, dann schon über der Eulerschen Zahl bin, um genau zu zeigen, dass dort mein Grenzwert liegt?
Ich hoffe, Ihr könnt mir helfen.
Liebe Grüße
Lisa
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
> Zeigen Sie, dass für [mm]a_{n}[/mm] = [mm](1+\bruch{1}{n})^{n}[/mm] gilt:
>
> e = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm]
> Guten Tag,
>
> ich habe die oben stehende Aufgabe zu lösen und habe auch
> schon einiges versucht:
>
> Mein Ziel ist es zu zeigen, dass der Grenzwert der Folge
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm](1+\bruch{1}{n})^{n}[/mm] bei der Eulerschen Zahl e
> liegt.
>
> Dafür habe ich bisher gezeigt, dass die Folge monoton
> steigend ist, also gilt:
>
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] > 1
>
> Als nächstes will ich zeigen, dass sie beschränkt ist.
> Dafür ziehe ich die Summe von
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}[/mm] = e
>
> heran, um dann zu zeigen, dass meine Folge diesen Wert nie
> überschreitet, also durch e beschränkt ist.
> Nach etwas umformen komme ich dann zu der Gleichung:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}[/mm] >
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}[/mm] *
> [mm]\bruch{n!}{(n-k)!*n^{k}}[/mm] = [mm](1+\bruch{1}{n})^{n}[/mm]
Hier stimmt schon das letzte Gleichheitszeichen nicht. Es ist zunächst einmal
[mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\sum\limits_{j=0}^{n}\binom{n}{j}\cdot \frac{1}{n^{j}}$, [/mm] die Summe läuft also nur bis $n$ und nicht bis unendlich.
Um zu zeigen, dass [mm] $\frac{n!}{\left(n-j\right)!\cdot n^{j}} \leq [/mm] 1 $ ist, schreibe mal die Fakultäten im Zähler und im Nenner aus. Dann siehst du dass du den Faktultätsterm im Nenner wegkürzen kannst.
Wenn du das gemacht hast: Wieviele Faktoren bleiben im Zähler nach dem Kürzen übrig. Was kann du sagen, wenn du einen einzelnen Faktor durch $n$ teilst?
> Zu zeigen ist ja, dass für den Term
> [mm]\bruch{n!}{(n-k)!*n^{k}}[/mm] gilt:
>
> [mm]\bruch{n!}{(n-k)!*n^{k}}[/mm] < 1
>
> doch wie genau kann ich das hier zeigen, außer das einfach
> mit Zahlen auszuprobieren?
>
> Wenn ich das alles habe weiß ich ja, dass meine Folge
> monoton und beschränkt und somit auch konvergent ist.
>
Genau, und was weißt du über den Grenzwert [mm] a:=\limes_{n \to \infty} a_{n}?
[/mm]
> Muss ich nun noch zeigen, dass ich, falls ich bei
> [mm](1+\bruch{1}{n})^{n}[/mm] plötzlich [mm](1+\bruch{1}{n})^{n+1}[/mm]
> wähle, dann schon über der Eulerschen Zahl bin, um genau
> zu zeigen, dass dort mein Grenzwert liegt?
>
Zeige für jedes feste $N [mm] \in \IN$, [/mm] dass gilt
$a [mm] \geq s_{N}:=\sum\limits_{j=0}^{N}\frac{1}{j!}$.
[/mm]
Beweise dazu, dass
[mm] $a_{n}\geq \sum\limits_{j=0}^{N}\frac{1}{j!}\cdot \left(1-\frac{N}{n}\right)^{N}$ [/mm]
für alle $n [mm] \geq [/mm] N$ gilt.
> Ich hoffe, Ihr könnt mir helfen.
>
> Liebe Grüße
>
> Lisa
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Viele Grüße
Blasco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Di 25.11.2014 | | Autor: | Lisa90 |
Hallo Blasco,
erst einmal vielen Dank für deine Hilfe.
Zum Ausschreiben der Fakultäten ist mir eingefallen, dass wir mal einen Induktionsbeweis hatten, wo sowas ähnliches vorkam, sodass man den Fakultätsterm vielleicht so schreiben könnte:
[mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!} [/mm] * [mm] \bruch{n!}{(n-k)!*n^{k}} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!} [/mm] * [mm] \bruch{n}{n} [/mm] * [mm] \bruch{n-1}{n} [/mm] * [mm] \bruch{n-2}{n} [/mm] * ... * [mm] \bruch{n-(k-1)}{n}
[/mm]
wobei man bei der neuen Schreibweise ja leichter erkennt, dass diese kleiner als 1 wird.
> Genau, und was weißt du über den Grenzwert [mm]a:=\limes_{n \to \infty} a_{n}?[/mm]
Hmm, ich weiß über den Grenzwert, dass dies der Wert ist, dem sich die Reihe für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] annähert. Damit es einen gibt, muss die Folge, die der Reihe zu Grunde liegt eine Nullfolge sein (was sie hier ja auch ist). Mit e gebe ich jetzt eine Schranke vor, bei der ich untersuche, ob meine Reihe diesen überschreitet, was sie laut meiner ersten Rechnung ja nicht tut.
Aber trotzdem kann ich ja noch keine Aussage darüber machen, ob dies auch wirklich der Grenzwert ist, da ja eine solche Schranke nicht gleich der Grenzwert sein muss. Ich hätte ja beispielsweise auch 4 als Schranke wählen können, dieser Wert würde ja ebenfalls nicht überschritten werden.
Ich hoffe, du verstehst, was ich meine.
Daher kommt ja jetzt wahrscheinlich noch der Teil, bei dem genau gezeigt wird, dass diese Schranke meine kleinste, obere Schranke ist.
Dennoch verstehe ich nicht ganz, was du hier versuchst zu zeigen:
> Zeige für jedes feste [mm]N \in \IN[/mm], dass gilt
>
> [mm]a \geq s_{N}:=\sum\limits_{j=0}^{N}\frac{1}{j!}[/mm].
>
> Beweise dazu, dass
>
> [mm]a_{n}\geq \sum\limits_{j=0}^{N}\frac{1}{j!}\cdot \left(1-\frac{N}{n}\right)^{N}[/mm]
>
> für alle [mm]n \geq N[/mm] gilt.
Vielleicht kannst du die letzten zwei Schritte nochmal in Worte fassen und umreißen, was genau man damit zeigt.
Liebe Grüße
Lisa
|
|
|
| |
|
> Hallo Blasco,
>
> erst einmal vielen Dank für deine Hilfe.
>
> Zum Ausschreiben der Fakultäten ist mir eingefallen, dass
> wir mal einen Induktionsbeweis hatten, wo sowas ähnliches
> vorkam, sodass man den Fakultätsterm vielleicht so
> schreiben könnte:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}[/mm] * [mm]\bruch{n!}{(n-k)!*n^{k}}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}[/mm] * [mm]\bruch{n}{n}[/mm] *
> [mm]\bruch{n-1}{n}[/mm] * [mm]\bruch{n-2}{n}[/mm] * ... * [mm]\bruch{n-(k-1)}{n}[/mm]
>
> wobei man bei der neuen Schreibweise ja leichter erkennt,
> dass diese kleiner als 1 wird.
>
Genau
>
> > Genau, und was weißt du über den Grenzwert [mm]a:=\limes_{n \to \infty} a_{n}?[/mm]
>
> Hmm, ich weiß über den Grenzwert, dass dies der Wert ist,
> dem sich die Reihe für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> annähert. Damit es einen gibt, muss die Folge, die der
> Reihe zu Grunde liegt eine Nullfolge sein (was sie hier ja
> auch ist). Mit e gebe ich jetzt eine Schranke vor, bei der
> ich untersuche, ob meine Reihe diesen überschreitet, was
> sie laut meiner ersten Rechnung ja nicht tut.
> Aber trotzdem kann ich ja noch keine Aussage darüber
> machen, ob dies auch wirklich der Grenzwert ist, da ja eine
> solche Schranke nicht gleich der Grenzwert sein muss. Ich
> hätte ja beispielsweise auch 4 als Schranke wählen
> können, dieser Wert würde ja ebenfalls nicht
> überschritten werden.
> Ich hoffe, du verstehst, was ich meine.
Du kannst jetzt noch nicht sagen, dass $e$ tatsächlich auch der Grenzwert ist, aber ihr hattet bestimmt den Satz
Falls für zwei konvergente Folgen [mm] $a_{n}$ [/mm] und [mm] $b_{n}$ [/mm] gilt
[mm] $a_{n} \leq b_{n}$ [/mm] für alle [mm] $n\geq N_{0} \in \IN$, [/mm]
dann folgt daraus
[mm] $\limes_{n \to \infty}a_{n}:=a \leq [/mm] b:= [mm] \limes_{n \to \infty} b_{n}$ [/mm]
>
>
> Daher kommt ja jetzt wahrscheinlich noch der Teil, bei dem
> genau gezeigt wird, dass diese Schranke meine kleinste,
> obere Schranke ist.
>
> Dennoch verstehe ich nicht ganz, was du hier versuchst zu
> zeigen:
>
>
> > Zeige für jedes feste [mm]N \in \IN[/mm], dass gilt
> >
> > [mm]a \geq s_{N}:=\sum\limits_{j=0}^{N}\frac{1}{j!}[/mm].
> >
> > Beweise dazu, dass
> >
> > [mm]a_{n}\geq \sum\limits_{j=0}^{N}\frac{1}{j!}\cdot \left(1-\frac{N}{n}\right)^{N}[/mm]
> >
> > für alle [mm]n \geq N[/mm] gilt.
>
> Vielleicht kannst du die letzten zwei Schritte nochmal in
> Worte fassen und umreißen, was genau man damit zeigt.
>
Naja, wenn du das oben verstanden hast, dann weißt du dass [mm] $a:=\limes_{n \to \infty} a_{n} \leq [/mm] e$ ist. In diesem Schritt zeigt du nun
[mm] $a\geq [/mm] e$ (Warum folgt das, wenn $a [mm] \geq s_{N}$ [/mm] gezeigt hast?) und damit hat man zusammen
[mm] $a:=\limes_{n \to \infty} a_{n}=e$ [/mm]
> Liebe Grüße
>
> Lisa
Viele Grüße
Blasco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:37 Di 25.11.2014 | | Autor: | Lisa90 |
Hi,
okay hab bis zum letzten Schritt alles verstanden. Man versucht also zu zeigen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] sowohl kleiner ist als die unendliche Summe aller Partialsummanden der Exponentialreihe, aber gleichzeitig größer ist als jede endliche Summe von Partialsummanden der Exponentialreihe.
Während ich ersteres ja schon oben gezeigt habe, fehlt jetzt noch der zweite Schritt.
> Zeige für jedes feste [mm]N \in \IN[/mm], dass gilt
>
> [mm]a \geq s_{N}:=\sum\limits_{j=0}^{N}\frac{1}{j!}[/mm].
>
> Beweise dazu, dass
>
> [mm]a_{n}\geq \sum\limits_{j=0}^{N}\frac{1}{j!}\cdot \left(1-\frac{N}{n}\right)^{N}[/mm]
>
> für alle [mm]n \geq N[/mm] gilt.
Das feste N beschreibt hierbei irgendein endliches N, sodass mein Grenzwert a der Folge [mm] a_{n} [/mm] = [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n} [/mm] stehts größer als [mm] s_{N} [/mm] ist.
Dafür muss man, wie du ja eben geschrieben hast, folgendes beweisen:
[mm] a_{n}\geq \sum\limits_{j=0}^{N}\frac{1}{j!}\cdot \left(1-\frac{N}{n}\right)^{N}
[/mm]
Doch wie kommst du auf den rechten Term?
Das [mm] \sum\limits_{j=0}^{N}\frac{1}{j!} [/mm] ist noch ganz normal wie bei der Partialsumme der Exponentialreihe, eben halt nur für N, doch was danach kommt, kann ich mir nicht so recht erklären, also [mm] \left(1-\frac{N}{n}\right)^{N}
[/mm]
Wenn ich das dann versuche aufzulösen und die Ungleichheit zu zeigen, erhalte ich:
[mm] a_{n}\geq \sum\limits_{j=0}^{N}\frac{1}{j!}\cdot \left(1-\frac{N}{n}\right)^{N}
[/mm]
[mm] \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\geq \sum\limits_{j=0}^{N}\frac{1}{j!}\cdot \left(1-\frac{N}{n}\right)^{N}
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} \* (\bruch{1}{n})^{k} \geq \summe_{k=0}^{N} \bruch{1}{k!} \* \vektor{N \\ k} \* (-\bruch{N}{n})^{k}
[/mm]
Aber irgendwie sieht das sehr seltsam aus und ich weiß auch nicht, wie ich das weiter vereinfachen kann, um die Ungleichheit klar werden zu lassen.
Ich hoffe, Du kannst mir ein weiteres mal helfen.
Liebe Grüße
Lisa
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 Di 25.11.2014 | | Autor: | Lisa90 |
Habe es doch hinbekommen. Vielen Dank für deine Hilfe :)
|
|
|
|
