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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:00 So 18.05.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Eine nirgends verschwindende stetige Funktion [mm] \mu: [/mm] M [mm] \rightarrow [/mm] R heißt ein eulerscher Multiplikator oder integrierender Fakor zur Differentialform [mm] \omega, [/mm] wenn es eine stetig diffbare Funktion f: M [mm] \rightarrow [/mm] R mit df = [mm] \mu \omega [/mm] gibt.
(i) Wie drücken sich die Lösungen von [mm] \omega [/mm] = 0 durch f aus?
(ii) Welche partiellen Differentialgleichungen hat man zu lösen, um einen Eulerschen Multiplikator in eienr geeigneten Umgebung eines Punktes in M zu bekommen?
(iii) Suche einen Eulerschen Multiplikator zu [mm] \omega [/mm] = [mm] exp(x-y^2) [/mm] dx - 2y dy und löse [mm] \omega [/mm] = 0. |
Hallo,
ich versteh es noch nicht ganz, was es mit diesen Eulerschen Multiplikatoren so auf sich hat. Ich hab im Heuser folgendes nachgelesen: Es geht wohl darum eine DGL p(x,y) + q(x,y) y' = 0 durch Multiplikation mit einer stetigen und nirgendsverschwindenden Funktion [mm] \mu(x,y) [/mm] sie zu einer exakten Gleichung [mm] \mu(x,y) [/mm] p(x,y) + [mm] \mu(x,y) [/mm] q(x,y) y' = 0 zu machen. [mm] \mu [/mm] ist dann eben dieser Eulerscher Multiplikatpor, der der Bedingung:
[mm] \frac{\partial}{\partial y}( \mu [/mm] p) = [mm] \frac{\partial}{\partial x} (\mu [/mm] q) (*)genügen muss.
Anscheinend braucht man nicht alle Lösungen dieser Gleichung, sondern nur eine davon.
Also ich weiß nicht, die Gleichung (*) ist doch dann eigentlich die partielle DGL die man lösen muss, also Antwort auf (ii) ?
Zu (i):
Kann man [mm] \omega [/mm] schreiben als [mm] \omega [/mm] = p(x,y) dx + q(x,y) dy ?
Hm, man hat df = [mm] \mu \omega, [/mm] wie kann man die Lösungen von [mm] \omega [/mm] 0 durch f ausdrücken? Das versteh ich noch nicht ... Könnt iht mir bitte einen Tip geben?? *please*
Viele Grüße,
Riley
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Hallo Riley!
> Eine nirgends verschwindende stetige Funktion [mm]\mu:[/mm] M
> [mm]\rightarrow[/mm] R heißt ein eulerscher Multiplikator oder
> integrierender Fakor zur Differentialform [mm]\omega,[/mm] wenn es
> eine stetig diffbare Funktion f: M [mm]\rightarrow[/mm] R mit df =
> [mm]\mu \omega[/mm] gibt.
> (i) Wie drücken sich die Lösungen von [mm]\omega[/mm] = 0 durch f
> aus?
> (ii) Welche partiellen Differentialgleichungen hat man zu
> lösen, um einen Eulerschen Multiplikator in eienr
> geeigneten Umgebung eines Punktes in M zu bekommen?
> (iii) Suche einen Eulerschen Multiplikator zu [mm]\omega[/mm] =
> [mm]exp(x-y^2)[/mm] dx - 2y dy und löse [mm]\omega[/mm] = 0.
> Hallo,
> ich versteh es noch nicht ganz, was es mit diesen
> Eulerschen Multiplikatoren so auf sich hat. Ich hab im
> Heuser folgendes nachgelesen: Es geht wohl darum eine DGL
> p(x,y) + q(x,y) y' = 0 durch Multiplikation mit einer
> stetigen und nirgendsverschwindenden Funktion [mm]\mu(x,y)[/mm] sie
> zu einer exakten Gleichung [mm]\mu(x,y)[/mm] p(x,y) + [mm]\mu(x,y)[/mm]
> q(x,y) y' = 0 zu machen. [mm]\mu[/mm] ist dann eben dieser
> Eulerscher Multiplikatpor, der der Bedingung:
>
> [mm]\frac{\partial}{\partial y}( \mu[/mm] p) =
> [mm]\frac{\partial}{\partial x} (\mu[/mm] q) (*)genügen muss.
> Anscheinend braucht man nicht alle Lösungen dieser
> Gleichung, sondern nur eine davon.
>
> Also ich weiß nicht, die Gleichung (*) ist doch dann
> eigentlich die partielle DGL die man lösen muss, also
> Antwort auf (ii) ?
im prinzip ja, allerdings brauchst du dich nicht auf die dimension 2 zu beschraenken. allgemein sollte die PDE einfach so lauten:
[mm] $d(\mu \omega)=0$,
[/mm]
was ja die notwendige bedingung (geschlossenheit) fuer exaktheit ist. wenn du [mm] \omega [/mm] jetzt bezueglich einer basis (den [mm] dx_i [/mm] ) darstellst, erhaelst du eine PDE.
>
> Zu (i):
> Kann man [mm]\omega[/mm] schreiben als [mm]\omega[/mm] = p(x,y) dx + q(x,y)
> dy ?
> Hm, man hat df = [mm]\mu \omega,[/mm] wie kann man die Lösungen von
> [mm]\omega[/mm] 0 durch f ausdrücken? Das versteh ich noch nicht ...
> Könnt iht mir bitte einen Tip geben?? *please*
diese aufgabe finde ich auch unklar formuliert. Sollt ihr evtl. einfach die loesungen f der gleichung $df=0$ angeben? das ist nicht so schwer...
gruss
matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Matthias,
danke für deine Antwort und die Hinweise. Die Aufgabe ist wirklich etwas merkwürdig, aber [mm] \omega [/mm] = 0 und [mm] \mu \omega [/mm] = 0 müssten ja die gleiche Lösungsmenge haben. Dann ist es klar.
Viele Grüße,
Riley
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