Eulersches Polygonzugverfahren < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 Mi 16.01.2013 | | Autor: | blackylk |
| Aufgabe | Bestimmen Sie mit der Eulerschen Polygonzugmethode und der Schrittweite h = 0,1 eine Näherungslösung zum Anfangswertproblem
y'=(x)+1, y(0)=0 h=0.1 [mm] x\in[ [/mm] 0, 0.2 ]
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![[]](/images/popup.gif) Aufgabe 7.4 |
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Aufgabe 7.4
Ich soll ein kleines Skript schreiben, in der man die Schrittweite modulieren kann und dann die Tabelle ausgeben soll wie auf der Seite.
Da steht ja schon die Lösung. Die DGL ist ja auch nicht schwierig.
y'=y+1 , y (0)=0, h=0.1
Ich verstehe das Prinzip nicht.
Die Lösungsfunktion ist ja. [mm] y(x)=e^{x}-1
[/mm]
Da steht ja :
Euler:
[mm] y_{i+1}=y_{i}+h*f(x_{i}+y_{i}), ,x_{i+1}=x_{i}+h
[/mm]
Denn ersten Schritt verstehe ich ja. Alles ist Null. Da y(0)=0 ist. Die Schrittweite ist ja auch Null. Und [mm] x_{i} [/mm] ist ja auch Null.
dann steht da auf der Seite, dass
[mm] y_{1}=0+0.1*(0+1)=0.1
[/mm]
Warum eigentlich?
[mm] y(0)=e^{0}-1 [/mm] =0
Soweit so gut.
h = 0.1 auch gut
und jetzt kommt der Teil den ich nicht verstehe.
Was setze ich in [mm] f(x_{i}+y_{i}) [/mm] ein.
Setze ich 0.1 ein, dann kommt bei mir für [mm] x_1 [/mm] = 0.105 raus.
Bei denen kommt aber 0 raus und bei [mm] y_{i}(0.1) [/mm] =1
Was hab ich falsch gemacht?
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Hallo blackylk,
> Bestimmen Sie mit der Eulerschen Polygonzugmethode und der
> Schrittweite h = 0,1 eine Näherungslösung zum
> Anfangswertproblem
>
> y'=(x)+1, y(0)=0 h=0.1 [mm]x\in[[/mm] 0, 0.2 ]
> Diese Aufgabe auf folgender Seite gefunden.
> Aufgabe 7.4
>
> Diese Aufgabe auf folgender Seite gefunden.
> Aufgabe 7.4
>
> Ich soll ein kleines Skript schreiben, in der man die
> Schrittweite modulieren kann und dann die Tabelle ausgeben
> soll wie auf der Seite.
>
> Da steht ja schon die Lösung. Die DGL ist ja auch nicht
> schwierig.
> y'=y+1 , y (0)=0, h=0.1
>
> Ich verstehe das Prinzip nicht.
>
> Die Lösungsfunktion ist ja. [mm]y(x)=e^{x}-1[/mm]
> Da steht ja :
> Euler:
> [mm]y_{i+1}=y_{i}+h*f(x_{i}+y_{i}), ,x_{i+1}=x_{i}+h[/mm]
>
> Denn ersten Schritt verstehe ich ja. Alles ist Null. Da
> y(0)=0 ist. Die Schrittweite ist ja auch Null. Und [mm]x_{i}[/mm]
> ist ja auch Null.
> dann steht da auf der Seite, dass
>
> [mm]y_{1}=0+0.1*(0+1)=0.1[/mm]
>
> Warum eigentlich?
> [mm]y(0)=e^{0}-1[/mm] =0
> Soweit so gut.
> h = 0.1 auch gut
> und jetzt kommt der Teil den ich nicht verstehe.
> Was setze ich in [mm]f(x_{i}+y_{i})[/mm] ein.
Das soll doch bestimmt [mm]f(x_{i}\blue{,}y_{i})[/mm] lauten.
> Setze ich 0.1 ein, dann kommt bei mir für [mm]x_1[/mm] = 0.105
> raus.
[mm]f(x_{i},y_{i})[/mm] ist die rechte Seite der DGL.
Hier also [mm]f(x_{i},y_{i}):=y_{i}+1[/mm]
> Bei denen kommt aber 0 raus und bei [mm]y_{i}(0.1)[/mm] =1
> Was hab ich falsch gemacht?
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:58 Mi 16.01.2013 | | Autor: | blackylk |
Ach herjemine , das ich dass nicht gesehen habe ....peinlich. Trotzdem vielen Dank, sonst hätte ich wohl noch bis morgen drangesessen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 So 20.01.2013 | | Autor: | blackylk |
| Aufgabe | Beispiel:
[mm] y'=y^{2}
[/mm]
[mm] y(0)=\bruch{1}{4}
[/mm]
Auf diese DGL das Polygonzugverfahren (euler cauchy) 5 mal anwenden bei h=0.5. |
Die exakte Lösung bekomme ich, wenn ich die DGL löse. Also.
[mm] \bruch{dy}{dx}=y^{2}
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{y}+C1=\integral \bruch{dy}{y^{2}}
[/mm]
[mm] \integral [/mm] 1 dx=x + C2
=> [mm] y=-\bruch{1}{x+C'}
[/mm]
Anfangs Bedingung
[mm] \bruch{1}{4}=-\bruch{1}{0+C'}
[/mm]
=> eindeutige Lösung bei y(x)= [mm] -\bruch{1}{x-4}=\bruch{1}{4-x}
[/mm]
=>(c=-4)
[mm] \vmat{ i & x_{i} & y_{i} & f_{i}=f(x_{i},y_{i})& exakter Wert\\ 0 & 0&0.25&0.0625&0.25 \\ 1&0.5&0.28125&0.07910156&0.28571\\2&1.0&0.3208&0.102913&0.33333}
[/mm]
[mm] f_{i}=f(x_{i},y_{i})
[/mm]
[mm] y_{i+1}=y_{i}+h*f_{i}
[/mm]
Ich denke, dass es richtig ist, aber mein Kollege hat eine andere Lösung. Es wäre super, wenn jemand kurz drüberschauen könnte.
[mm] y_{0}=0.25
[/mm]
[mm] y_{1}=0.25+0.5*0.25^{2}
[/mm]
[mm] y_{2}=0.28125*0.5*0.28125^{2}
[/mm]
ok die werte stimmen, weiß jetzt nur nicht, wie ich den thread schließe.
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Hallo blackylk,
> Beispiel:
> [mm]y'=y^{2}[/mm]
> [mm]y(0)=\bruch{1}{4}[/mm]
>
> Auf diese DGL das Polygonzugverfahren (euler cauchy) 5 mal
> anwenden bei h=0.5.
>
> Die exakte Lösung bekomme ich, wenn ich die DGL löse.
> Also.
> [mm]\bruch{dy}{dx}=y^{2}[/mm]
> [mm]-\bruch{1}{y}+C1=\integral \bruch{dy}{y^{2}}[/mm]
> [mm]\integral[/mm] 1
> dx=x + C2
> => [mm]y=-\bruch{1}{x+C'}[/mm]
> Anfangs Bedingung
>
>
> [mm]\bruch{1}{4}=-\bruch{1}{0+C'}[/mm]
> => eindeutige Lösung bei y(x)=
> [mm]-\bruch{1}{x-4}=\bruch{1}{4-x}[/mm]
>
> =>(c=-4)
> [mm]\vmat{ i & x_{i} & y_{i} & f_{i}=f(x_{i},y_{i})& exakter Wert\\ 0 & 0&0.25&0.0625&0.25 \\ 1&0.5&0.28125&0.07910156&0.28571\\2&1.0&0.3208&0.102913&0.33333}[/mm]
>
>
> [mm]f_{i}=f(x_{i},y_{i})[/mm]
> [mm]y_{i+1}=y_{i}+h*f_{i}[/mm]
>
> Ich denke, dass es richtig ist, aber mein Kollege hat eine
> andere Lösung. Es wäre super, wenn jemand kurz
> drüberschauen könnte.
> [mm]y_{0}=0.25[/mm]
> [mm]y_{1}=0.25+0.5*0.25^{2}[/mm]
> [mm]y_{2}=0.28125*0.5*0.28125^{2}[/mm]
>
Das ist auch richtig.
> ok die werte stimmen, weiß jetzt nur nicht, wie ich den
> thread schließe.
Stelle die Frage auf beantwortet,
was jetzt nicht mehr nötig sein dürfte.
Gruss
MathePower
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