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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Do 18.08.2005 | | Autor: | Skydiver |
Hallo.
Habe eine kleine Schwierigkeit mit dem Eulerverfahren:
Und zwar geht es um die näherungsweise Berechnung der Zahl e mittels des Eulerverfahrens, ausgehend von der DG y'=y, vom Startwert y(0) = 0 und mit einer Schrittweite von 1/4.
Als Lösung soll [mm] (5/4)^4 [/mm] heraus kommen.
Also unterteile ich das Intervall [0,1] in vier gleiche Teile und setze das Verfahren folgendermaßen an: yk+1 = yk + h * yk, wobei h die Schrittweite ist.
Nun ergibt sich dabei aber dass Problem, dass das Eulerverfahren ja mittels des Tangentenanstieges im Ausgangspunkt den nächsten Punkt berechnet. Dieser Anstieg ist aber Null, weshalb ich nun mit meiner Formel nie vom Punkt 0 wegkomme.
Wo liegt mein Fehler??
Vielen Dank für die Hilfe,
mfg.
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Hallo Skydiver,
Du hast den falschen Startwert genommen: [mm] e^{0} [/mm] = 1, also muss es bei Deiner Rekursion heißen: y(0) = 1.
Dann klappt's!
Grüße, Richard
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Also dieses Spielchen kann man ja beliebig forttreiben und nach dem zweiten explizieten Schritt kommt man mit 5/2 schon recht nahe dran. mir ist es allerdings ein rätsel wie ich auf [mm] (5/4)^4 [/mm] kommen soll.
Mit crank-nicholson oder implizitem euler hab ich es jetzt noch nicht versucht :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:17 Fr 12.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
f'=f und f(0)=1
gesucht f(1)
Vorgeen in Schritten von 1/n
f(1/n)=1+1*1/n f(x+1/n)=f(x)+f'(x)*1/n=f(x)*f(x)*1/n
f(2/n)=1+1/n + [mm] (1+1/n)*1/n=(1+1/n)^2
[/mm]
[mm] f(3/n)=(1+1/n)^2 +(1+1/n)^2*1/n=(1+1/n)^3
[/mm]
usw. usw
[mm] f(n/n)=f(1)=(1+1/n)^n
[/mm]
jetzt n=1/4 gibt das gesuchte ergebnis.
Wo du auf deine 5/2 kommst weiss ich nicht.
Gruss leduart
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Ich bin auf 5/2 gekommen indem ich die Formel aus meinem Skript angewendet habe...
[mm] \nu_{0} [/mm] = [mm] y_{0}
[/mm]
[mm] \nu_{i+1} [/mm] = [mm] \nu_{i} [/mm] + [mm] h*f(t_{i},/nu_{i})
[/mm]
und [mm] t_{i+1} [/mm] = [mm] t_{i} [/mm] + h
Also so kenne ich das explizite Eulerverfahren nur... ich kann allerdings spontan keine wirkliche ähnlichkeit zwischen meiner und deiner rechnung erkennen..
Hab ich im moment Tomaten auf den Augen oder ist das ein anderer Lösungsweg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Sa 13.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ich bin auf 5/2 gekommen indem ich die Formel aus meinem
> Skript angewendet habe...
>
> [mm]\nu_{0}[/mm] = [mm]y_{0}[/mm]
>
> [mm]\nu_{i+1}[/mm] = [mm]\nu_{i}[/mm] + [mm]h*f(t_{i},/nu_{i})[/mm]
ich weiss nicht, was [mm] f(t_{i},/nu_{i}) [/mm] sein soll. man muss doch f'(ti)=f(ti) einsetzen?
dann kommt wenn man in 2 Schritten bis 1 rechnet:h=0,5
f(0)=1
[mm] \nu_1=1+1*0,5=1,5
[/mm]
[mm] \nu_2=1,5+1,5*0,5=2,25=(1+0,5)^2
[/mm]
ich weiss immer noch nicht, wie du auf 5/2 kommst. kannst dus vorrechnen?
Mein Verfahen sagt: fang an ner Stelle, hier [mm] t_0=0 [/mm] an, geh ein Stück mit der Steigung an der Stelle weiter, hier also mit der Steigung 1 dann mach dasselbe von der neuen Stelle [mm] t_0+h [/mm] aus usw. ich hatte h=1/n gewählt, weil die Aufgabe spezieller mit h=1/4 ging.
gleichzeitig kommt man dabei auf die Näherungsformel für [mm] e^1=(1+1/n)^n
[/mm]
wie sieht denn dein Verfahren für h=1/4 oder h=1/n aus?
2 Schritte würden reichen.
Gruss leduart
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ohje vorrechnen*g klar, moooment: (das bezog sich mehr auf die schreibweise als aufs rechen^^)
und [mm] f(t_{i},\nu_{i}) [/mm] sollte es heißen.. sry
also: y'=y [mm] y_{0} [/mm] =1 [mm] h=\bruch{1}{4} [/mm] waren gegeben
[mm] \nu_{1} [/mm] = [mm] \nu_{0}+h *f(t_{0},\nu_{0}) [/mm] sowie [mm] \nu_{o} [/mm] = [mm] y_{0}
[/mm]
ist meine formel fürs implitzite eulerverfahren
[mm] \nu_{1} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * (1 + 0*0)
0*0 weil [mm] t_{o} [/mm] nicht in in der formel oben steht
[mm] \nu_{1} =1+\bruch{1}{4}*1 =1+\bruch{1}{4} [/mm] = [mm] \bruch{5}{4}
[/mm]
das ist also mein [mm] \nu_{1}
[/mm]
Und das war der erste schritt
Jetzt
[mm] \nu_{2} [/mm] = [mm] \nu_{1}+h *f(t_{1},\nu_{1}) [/mm] wobei [mm] t_{1} [/mm] = [mm] t_{0}+h
[/mm]
also:
[mm] \nu_{2} =\bruch{5}{4}+\bruch{1}{4}*(\bruch{5}{4}+0*\bruch{1}{4})
[/mm]
[mm] \nu_{2} [/mm] = muh... rechenfehler gefunden... [mm] \bruch{5}{4}+\bruch{5}{16}
[/mm]
[mm] \nu_{2} [/mm] = [mm] \bruch{25}{16} [/mm] = 1,5625
naja so solls gehen, bloß isses nun nich mal mehr ansatzweise nah dran...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 So 14.10.2007 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
Das ist jetzt genau meine Rechnung, nur dass ich 5/4 ausgeklammert habe. 5/4+5/16=5/4*(1+5/4)=(5/4)^2
aber du bist ja erst bei t=1/2 angekommen, hast also bis hier nur ne Näherung für f(1/2)=e^{1/2).
Erst wenn du noch 2 Schritte rechnest komsst du bei f(1) an, und dan bist du bei
der näherung (5/4)^4=2,44 für e^1.
Und du siehst: es lohnt ne Rechng ordentlich aufzuschreiben!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 So 14.10.2007 | | Autor: | silmaneero |
*knutsch* Danke!
Endlich hab ichs komplett verstanden *freu*
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