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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 So 25.11.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
Ist G eine Gruppe und N Normalteiler von G,
so ist [mm] \{e \} [/mm] -> N -> G -> G/N -> [mm] \{e\} [/mm]
eine exkate Folge wobei i: N->G die Einbettung bezeichnet und [mm] \pi: [/mm] G-> G/N die übliche Projektion |
ZuZeigen: img(i) = ker(G) bzw. laut Lemma i injektiv & [mm] \pi [/mm] surjektiv
i Homomorphismus
[mm] \pi [/mm] Homomorphismus (in Vo gezeigt)
Wie kann man die Abbildungsvorschrift für eine Einbettung aufschreiben?
i: N-> G , n-> n*e ?
Denn ich möchte ja zeigen, dass die EInbettung ein Homomorphismus ist.
Ich bin in der Aufgabe etwas verloren..
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 So 25.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ganz einfach [mm] $i:N\rightarrow [/mm] G, [mm] n\mapsto [/mm] n$. Deine Variante ist natürlich auch richtig, denn das neutrale Element macht ja nichts. :)
Kommst du nun weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 So 25.11.2012 | | Autor: | sissile |
[mm] n_1 [/mm] , [mm] n_2 \in [/mm] N
[mm] i(n_1 n_2 [/mm] ) = [mm] n_1 n_2 [/mm] = [mm] i(n_1) [/mm] i [mm] (n_2)
[/mm]
-> Einbettung Homomorphismus.
i injektiv
Denn [mm] i(n_1) [/mm] = [mm] i(n_2) [/mm] <=> [mm] n_1 [/mm] = [mm] n_2
[/mm]
[mm] \pi [/mm] surjektiv
Sei gN [mm] \in [/mm] G/N, suchen ein a [mm] \in [/mm] G mit [mm] \pi(a)=aN [/mm] = gN
=> wähle a=g
Das kann doch nicht die Aufgabe sein? Denn jede einzelne Zeile ist trivial..?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 So 25.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Doch, im Prinzip war es das schon. :) Alles richtig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 So 25.11.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Ist
[mm] \{e}] [/mm] -> [mm] G_1 [/mm] -> [mm] G_2 [/mm] -> [mm] G_3 [/mm] -> [mm] \{e \}
[/mm]
eine exkate Folge, [mm] \phi: G_1 [/mm] -> [mm] G_2, \psi: G_2 [/mm] -> [mm] G_3.
[/mm]
So gibt es ein N das Normalteiler von [mm] G_2 [/mm] ist mit N [mm] \cong G_1 [/mm] . Identifiziert man [mm] G_1 [/mm] mit N, so gilt [mm] G_2/ G_1 \cong G_3 [/mm] |
> Doch, im Prinzip war es das schon. :) Alles richtig.
Wie meinst du im Prinzip. Daraus lese ich , dass noch etwas fehlt?
Ich habe noch einen Teil b), habe ihn mal im Aufgabenbereich gepostet.
Gegeben ist also:
[mm] \phi, \psi [/mm] Homomorphismen
[mm] Img(\phi) [/mm] = [mm] ker(\psi)
[/mm]
und [mm] \phi [/mm] ist injektiv und [mm] \psi [/mm] surjektiv
Da [mm] \phi [/mm] ein Homomorphismus ist und [mm] G_1 [/mm] eine Untergruppe von sich selbst ist: [mm] img(\phi) [/mm] <= [mm] G_2 [/mm] (Bild von einer Untergruppe ist wieder eine Untergruppe)
Da [mm] img(\phi) [/mm] = [mm] ker(\psi) [/mm] ist und der Kern immer ein Normalteiler ist gilt:
Img ( [mm] \phi) [/mm] ist Normalteiler von [mm] G_2
[/mm]
[mm] \phi|_{Img(\phi)} [/mm] ist bijektiv
Weiter komme ich leider nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 So 25.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Sorry, war eine Weile weg.
Nein, also die a) ist fertig. Es fehlt nichts.
Zur b):
Ok, also du kannst [mm] G_1 [/mm] als Normalteiler von [mm] G_2 [/mm] auffassen. Jetzt musst du noch [mm] G_2/G_1\cong G_3 [/mm] zeigen. Dazu betrachte den surjektiven Homomorphismus [mm] \psi. [/mm] Was sagt denn der Homomorphiesatz da?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 So 25.11.2012 | | Autor: | sissile |
Nochmal von anfang bei b) (da ich etwas verwirrt bin)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 So 25.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Alles richtig soweit. Aber doch, du kannst [mm] im(\varphi) [/mm] dann als [mm] G_1 [/mm] auffassen. Wenn man die Aufgabe ganz genau schreiben wollte, müsste man statt [mm] G_2/G_1 [/mm] eher [mm] G_2/\varphi(G_1) [/mm] schreiben.
Manchmal schreibt man Quotienten etwas unsauber, wenn es klar ist, wie man den "Nenner" in der größeren Gruppe auffassen kann.
(Achtung, jetzt kommt ein sehr künstliches Beispiel ;))
z.B. macht auch Sym(2)/Sym(1) Sinn, wenn man erklärt, wie man die Sym(1) in der Sym(2) auffassen kann, z.B. durch die Inklusion [mm] i:Sym(1)\rightarrow Sym(2),\pmat{ 1 \\ \sigma(1) }\mapsto \pmat{ 1 & 2 \\ \sigma(1) & 2 }. [/mm] Natürlich sind die Elemente der Sym(1) eigentlich etwas anderes als die Elemente der Sym(2), aber dennoch kann man das dann im Endeffekt so schreiben. Gemeint wäre hier mit Sym(2)/Sym(1), wenn man es ganz genau macht, Sym(2)/i(Sym(1)). Und ist das in der Aufgabe auch gemeint. [mm] G_2/G_1 [/mm] heißt [mm] G_2/\varphi(G_1)=G_2/im(\varphi).
[/mm]
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