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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Exist. Elliptischer Funktionen
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Exist. Elliptischer Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:44 Sa 27.02.2010
Autor: dawu

Aufgabe
Thema: Die Herleitung elliptischer Funktionen zu vorgegebenen Null- und Polstellen (aus Freitag/Busam Funktionentheorie 1, S. 298)

Die rationale Funktion [mm]f(z) = z-a\ (a \in \mathbb{C}) \quad (I)[/mm] hat in $z = a$ eine Nullstelle und in $z = [mm] \infty$ [/mm] einen Pol erster Ordnung. Da sich jede rationale Funktion in der Form

[mm]f(z) = C \frac{(z-a_1)^{\nu_1} \cdots (z-a_n)^{\nu_n}}{(z-b_1)^{\mu_1} \cdots (z-b_m)^{\mu_m}} \quad (II)[/mm]

schreiben lässt, folgt allgemein:

Eine rationale Funktion hat auf [mm] $\overline{\mathbb{C}}$ [/mm] gleich viele Null- und Polstellen, wenn man jede so oft rechnet, wie ihre Vielfachheit angibt.

Hallo liebe Matheräumler!

Ich habe ein Verständnisproblem zum obigen Abschnitt aus meinem Buch (Freitag/Busam, Funktionentheorie 1, S. 298).

Mir ist selbstverständlich klar, dass $(I)$ eine Pol- und Nullstelle hat. Wenn ich mir nun aber den Bruch $(II)$ anschaue, habe ich ein Verständnisproblem:

Klar ist, dass man, wenn man z. B. $z = [mm] a_1$ [/mm] einsetzt, eine [mm] $\nu_1$-fache [/mm] Nullstelle, oder für $z = [mm] b_1$ [/mm] eine [mm] $\mu_1$-fache [/mm] Polstelle erhält.

Wie kann man jedoch das Verhalten für $z = [mm] \infty$ [/mm] begründen? Ich kann ja nicht einfach überall $z = [mm] \infty$ [/mm] einsetzen, sonst käme ja sowas grausiges wie [mm] \frac{\infty}{\infty} [/mm] raus... :-(

Für einen Hinweis wäre ich sehr dankbar.

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!

Viele Grüße,
dawu

        
Bezug
Exist. Elliptischer Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:06 Sa 27.02.2010
Autor: rainerS

Hallo!

> Thema: Die Herleitung elliptischer Funktionen zu
> vorgegebenen Null- und Polstellen (aus Freitag/Busam
> Funktionentheorie 1, S. 298)
>  
> Die rationale Funktion [mm]f(z) = z-a\ (a \in \mathbb{C}) \quad (I)[/mm]
> hat in [mm]z = a[/mm] eine Nullstelle und in [mm]z = \infty[/mm] einen Pol
> erster Ordnung. Da sich jede rationale Funktion in der
> Form
>  
> [mm]f(z) = C \frac{(z-a_1)^{\nu_1} \cdots (z-a_n)^{\nu_n}}{(z-b_1)^{\mu_1} \cdots (z-b_m)^{\mu_m}} \quad (II)[/mm]
>  
> schreiben lässt, folgt allgemein:
>  
> Eine rationale Funktion hat auf [mm]\overline{\mathbb{C}}[/mm]
> gleich viele Null- und Polstellen, wenn man jede so oft
> rechnet, wie ihre Vielfachheit angibt.
>  Hallo liebe Matheräumler!
>  
> Ich habe ein Verständnisproblem zum obigen Abschnitt aus
> meinem Buch (Freitag/Busam, Funktionentheorie 1, S. 298).
>
> Mir ist selbstverständlich klar, dass [mm](I)[/mm] eine Pol- und
> Nullstelle hat. Wenn ich mir nun aber den Bruch [mm](II)[/mm]
> anschaue, habe ich ein Verständnisproblem:
>  
> Klar ist, dass man, wenn man z. B. [mm]z = a_1[/mm] einsetzt, eine
> [mm]\nu_1[/mm]-fache Nullstelle, oder für [mm]z = b_1[/mm] eine [mm]\mu_1[/mm]-fache
> Polstelle erhält.
>  
> Wie kann man jedoch das Verhalten für [mm]z = \infty[/mm]
> begründen? Ich kann ja nicht einfach überall [mm]z = \infty[/mm]
> einsetzen, sonst käme ja sowas grausiges wie
> [mm]\frac{\infty}{\infty}[/mm] raus... :-(
>  
> Für einen Hinweis wäre ich sehr dankbar.

Zieh aus jeder Klammer den Faktor z heraus, dann steht da

[mm] f(z) = C \frac{(z-a_1)^{\nu_1} \cdots (z-a_n)^{\nu_n}}{(z-b_1)^{\mu_1} \cdots (z-b_m)^{\mu_m}} = z^{\nu_1+\dots+\nu_n - \mu_1-\dots-\mu_n} \bruch{(1-a_1/z)^{\nu_1} \cdots (1-a_n/z)^{\nu_n}}{(1-b_1/z)^{\mu_1} \cdots (1-b_m/z)^{\mu_m}} [/mm]

Der Bruch ist in einer Umgebung von [mm] $\infty$ [/mm] holomorph; das Null-/Polstellenverhalten in $z= [mm] \infty$ [/mm] wird also nur durch den Faktor [mm] $z^{\nu_1+\dots+\nu_n - \mu_1-\dots-\mu_n}$ [/mm] bestimmt.

Viele Grüße
   Rainer


Bezug
                
Bezug
Exist. Elliptischer Funktionen: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:53 Di 09.03.2010
Autor: dawu

Ich habe bis jetzt leider keine Zeit mehr gehabt, mich mit dem Thema zu beschäftigen, aber dennoch vielen Dank für die schnelle Antwort!! :-)

Bezug
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