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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 So 13.11.2005 | | Autor: | Lolita |
Hallo zusammen!
Ich beschäftige mich gerade mit der folgenden Aufgabe:
Sei [mm] n\in\IN [/mm] und seien [mm] x_1,...,x_n [/mm] nicht notwendig verschiedene reele Zahlen. Dann gibt es eine Folge reeler Zahlen, die für jedes [mm] i=1,...,n [/mm] eine gegen [mm] x_i [/mm] konvergente Teilfolge besitzt.
Ich habe dazu ein Lemma gefunden, wo steht:
[mm] a [/mm]-Häufungspunkt von [mm] a_n [/mm] [mm] \gdw [/mm] a-Grenzwert einer Teilfolge [mm] a_{n_i} [/mm] von [mm] a_n [/mm].
Aus der Aufgabe weiß ich, dass alle Teilfolgen [mm] a_{n_i} [/mm] für jedes [mm] i=1,2,...,n [/mm] gegen [mm] x_i [/mm] konvergieren. Das heißt nach dem Lemma, dass [mm] a_n [/mm] mindestens 1 und höchstens n Häufungspunkte hat. Also für alle [mm] \varepsilon [/mm] existieren unendlich viele n mit [mm] \left| a_n - a \right|< \varepsilon [/mm]. Hier habe ich dann ein Problem: existiert überhaupt eine Folge, die unendlich viele Häufungspunkte hat? Eigentlich soll, aber das habe ich in keinem Buch gefunden.
Könntet ihr bitte mir damit helfen?
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Lolita,
wenn ich Dich richtig verstehe, suchst du eine folge [mm] $a_k$, [/mm] die $n$ vorgegebene Häufungspunkte hat. Überlege doch zuerst einmal, was du machen würdest, wenn zwei HP vorgegeben sind, zb. $-1$ und $1$! Dann ist der verallgemeinernde schritt nicht mehr schwer.
zu deiner zweiten frage, die aber meiner meinung nach nichts mit der aufgabe zu tun hat: habe gerade mal etwas über eine folge mit unendlich vielen HPs nachgedacht und mir ist folgendes beispiel eingefallen, eine sozusagen diskret oszillierende folge: [mm] $(a_k)_k=1,0,-1,0,1,2,1,0,-1,-2,-1,0,1,2,3,2,1,...$. [/mm] Verstehst du, was ich meine? eine dreiecks-förmige schwingung mit wachsender amplitude. diese hat jede ganze zahl als HP.
Viele Grüße
Matthias
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