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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Fr 17.10.2008 | | Autor: | Larousse |
| Aufgabe | | Es sei c > 0 und es sei M = {x [mm] \in \IR [/mm] | x [mm] \ge [/mm] 0, [mm] x^2 [/mm] < c }. Zeigen SIe mit Hilfe des Vollständigkeitsaxioms, dass sup M existiert. |
Hallo zusammen,
es handelt sich um eine Aufgabe aus meiner heutigen ZÜ, die der Dozent vorgerechnet hat. Als ich nochmal drüber geschaut habe, waren mir einige Schritte und Folgerungen unklar. Hier jetzt ein Aspekt:
Zur obigen Aufgabe wurde geschrieben:
Laut Vollständigkeitsaxiom gilt: Die Menge M muss nichtleer sein und eine kleinste obere Schranke besitzen.
1. Bedingung: M muss nichtleer sein. Dies ist so, da zumindest 0 Teil ein Element der Menge ist (gut, das ist ja eindeutig)
2. Bedingung: M muss nach oben begrenzt sein: Es gibt ein c* für das gilt: a [mm] \le [/mm] c* für alle a [mm] \in [/mm] M.
Mit a [mm] \in [/mm] M gilt:
[mm] a^2 [/mm] < c < [mm] 1+c+c+c^2 [/mm] = [mm] (1+c)^2
[/mm]
Somit: a < 1+c
Setze: c*:= 1+c. Hiermit ist Bewiesen, dass das Supremum von M existiert.
Nun tue ich meine Unkenntnis kund:
Es muss ja einen tieferen Sinn haben, dass nicht einfach gesagt wurde, dass [mm] \wurzel{c} [/mm] M nach oben beschränkt.
Wahrscheonlich habe ich mal wieder irgendwas einfac nicht bedacht oder so.....
Vielen Dank für Eure Antworten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:06 Sa 18.10.2008 | | Autor: | leduart |
hallo
Fuer dich existiert [mm] \wurcel{c} [/mm] warum? Weil du ne naeherung fuer jedes c uas deinem TR findest? dass das [mm] nicht\wurcel{c} [/mm] ist ist dir doch klar.
dass es eine solche Zahl gibt, musst du doch erst beweisen. Was du weisst ist dass es etwa fuer c=2 keine rationale Zhl ist. mehr nicht.
fuer c = 4 waer natuerlich ddas Sup klar mit 2.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Sa 18.10.2008 | | Autor: | Larousse |
Hallo,
warum sollte denn [mm] \wurzel{c} [/mm] M nicht ebenso nach oben beschränken wie c+1 oder c/2+1?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:48 Sa 18.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
weil du nicht weisst, ob es eine reelle Zahl gibt mit [mm] x^2=2!
[/mm]
Das zu beweisen ist der sinn der Uebung!
So wie du redest kannst du doch auch einfach sagen [mm] x^2=-1 [/mm] x ist ne reelle Zahl da die obere Schranke [mm] \wurzel{-1} [/mm] ist, nur das kommt dir jetzt dumm vor, weil du schon weisst, dass [mm] \wurzel{-1} [/mm] keine reelle Zahl ist. Aber woher weisst du das von [mm] \wurzel{2}?
[/mm]
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:29 So 19.10.2008 | | Autor: | Larousse |
Das ist mir ja alles klar, aber wie komme ich dazu einfach zu sagen es gäbe ein Supremum da es ein c* gibt für das gilt, dass alle a Element M kleiner gleich sind und für dieses c* den Wert 1+c bzw. 1+c/2 zu setzen. Sehe darin keinen Beweis für die Existenz eines Supremums. Höchstens den Beweis üfr eine obere Schranke.
Gruß Larousse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 So 19.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das ist mir ja alles klar, aber wie komme ich dazu einfach
> zu sagen es gäbe ein Supremum da es ein c* gibt für das
> gilt, dass alle a Element M kleiner gleich sind und für
> dieses c* den Wert 1+c bzw. 1+c/2 zu setzen. Sehe darin
> keinen Beweis für die Existenz eines Supremums. Höchstens
> den Beweis üfr eine obere Schranke.
kann sein, dass ich Dich missverstehe. Aber ihr habt doch folgendes gemacht:
Ihr habt gezeigt, dass die Menge $M$ (welche per Definitionem offensichtlich eine Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] ist)
1. nichtleer ist
2. nach oben beschränkt.
In der Tat ist bei 2. ja nur die Existenz einer oberen Schranke nachgewiesen worden. Allerdings steht in der Aufgabe ja auch etwas, wie man zeigen soll, dass das Supremum von $M$ existiert:
Das soll so geschehen, dass man zeigt, dass man auf $M$ das Vollständigkeitsaxiom anwenden kann.
Da ich Eure Formulierung des VA nicht kenne (und derer gibt es verschiedene), nehme ich einfach mal an, dass ihr ![[]](/images/popup.gif) diese benutzt:
(VA) Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] besitzt ein Supremum.
Diesen Satz habt ihr sicherlich in der Vorlesung bewiesen oder dürft ihn als gegeben annehmen.
Also:
$M$ hat ein Supremum, denn:
Klar ist, dass $M [mm] \subseteq \IR$. [/mm] Weiter gilt wegen 1., dass $M [mm] \not= \emptyset$ [/mm] ist. Wegen 2. ist $M$ nach oben beschränkt. Dass das Supremum von $M$ existiert, erschließt sich nun aus dem (VA).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:07 So 19.10.2008 | | Autor: | Larousse |
Autsch, ja klar. Habe mich da irgendwie verrannt....
Vielen Dank für die super Antwort.
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