Existenz divergente Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Mi 18.11.2009 | | Autor: | JulianTa |
| Aufgabe | | Geben Sie (mit Beweis) eine divergente Folge [mm] $\{a_n\}_{n=0}^\infty$ [/mm] an, so dass [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} [/mm] existiert. |
Hallo!
Ich bin mir nicht sicher, ob die von mir gefundene Lösung richtig ist. Es wäre nett, wenn jemand drüber gucken könnte! Danke!
Also sei [mm] \{a_n\}_{n=0}^\infty [/mm] = [mm] (-1)^n
[/mm]
[mm] \{a_n\} [/mm] divergiert offensichtlich.
Dann ist aber
[mm] $\{b_n\}_{n=1}^\infty$ [/mm] := [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}$\\
[/mm]
[mm] $=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1-1+1-1+1-1+1-1+ ...+ (-1)^n }{n}$\\
[/mm]
[mm] $=\begin{cases}\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{0}{n}+ \frac{0}{n}+...+\frac{1}{n} \\ \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{0}{n}+ \frac{0}{n}+...-\frac{1}{n} \end{cases}$\\
[/mm]
[mm] $=\begin{cases}\lim_{n \rightarrow \infty}0+ \frac{1}{n} \\ \lim_{n \rightarrow \infty}0-\frac{1}{n} \end{cases}$\\
[/mm]
[mm] $=\begin{cases}0 \\ 0 \end{cases}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} b_n [/mm] = 0
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Mi 18.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Geben Sie (mit Beweis) eine divergente Folge
> [mm]\{a_n\}_{n=0}^\infty[/mm] an, so dass [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}[/mm]
> existiert.
> Hallo!
> Ich bin mir nicht sicher, ob die von mir gefundene Lösung
> richtig ist. Es wäre nett, wenn jemand drüber gucken
> könnte! Danke!
>
> Also sei [mm]\{a_n\}_{n=0}^\infty[/mm] = [mm](-1)^n[/mm]
> [mm]\{a_n\}[/mm] divergiert offensichtlich.
> Dann ist aber
> [mm]$\{b_n\}_{n=1}^\infty$[/mm] := [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}$\\[/mm]
Das ist ja eine fürchterliche Darstellung ! warum nicht einfach so:
[mm] $b_n:= \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}$
[/mm]
Und dann stellt man fest:
[mm] $b_{2n}= [/mm] 0$ und [mm] $b_{2n-1}= \bruch{-1}{2n-1}$
[/mm]
Somit ist [mm] (b_n) [/mm] eine Nullfolge
>
> [mm]=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1-1+1-1+1-1+1-1+ ...+ (-1)^n }{n}[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm]=\begin{cases}\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{0}{n}+ \frac{0}{n}+...+\frac{1}{n} \\ \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{0}{n}+ \frac{0}{n}+...-\frac{1}{n} \end{cases}[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm]=\begin{cases}\lim_{n \rightarrow \infty}0+ \frac{1}{n} \\ \lim_{n \rightarrow \infty}0-\frac{1}{n} \end{cases}[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm]$=\begin{cases}0 \\ 0 \end{cases}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} b_n[/mm]
> = 0
Diese Darstellung ist grauenhaft. Möglicherweise meinst Du das Richtige, aber so werden wir es nie erfahren
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Mi 18.11.2009 | | Autor: | JulianTa |
Ja da hast du wohl recht...
Ich will natürlich [mm] b_n [/mm] so definieren:
[mm] $\{b_n\}_{n=1}^\infty$ [/mm] := [mm] \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}$
[/mm]
und dann guck ich mir den limes an.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Mi 18.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ja da hast du wohl recht...
> Ich will natürlich [mm]b_n[/mm] so definieren:
> [mm]$\{b_n\}_{n=1}^\infty$[/mm] := [mm]\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}$[/mm]
Wenn schon, dann ganz korrekt:
[mm]$\{b_n\}_{n=1}^\infty$[/mm] := [mm]\{\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}\}_{n=1}^\infty$[/mm]
FRED
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> und dann guck ich mir den limes an.
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