Existenz einer DGL/ODE < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Tobi1988 |
| Aufgabe | Lösen Sie - falls möglich - die folgende Differentialgleichung:
[mm] x'(t)=1+x(t)^4 [/mm] |
Hallo zusammen,
habe leider keinen wirklichen Ansatz zu dieser Aufgabe. Also ich gehe mal davon aus, dass es keine Funktion x(t) gibt, die diese Differentialgleichung erfüllt. Habe mir jetzt überlegt mit Lösungsverfahren da ran zu gehen, aber komme leider nicht auf einen passenden. Wahrscheinlich gibt es dann irgendwann einen Widerspruch.
Welche Lösungsformel könnte man hier verwenden? Oder hat jemand eine andere Idee?
Viele Grüße und danke schon mal,
Tobi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Fr 28.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Tipp. Trennung der Variablen
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Tobi1988 |
> Tipp. Trennung der Variablen
>
> FRED
Danke für die schnelle Reaktion! Ok, habe dann also Folgendes stehen:
[mm] \gdw \bruch{dx}{dt}=1+x^4
[/mm]
[mm] \gdw \integral{\bruch{1}{1+x^4} dx}=\integral{1 dt}
[/mm]
Aber jetzt habe ich noch keinen Widerspruch, das linke Integral ist zwar alles andere als trivial aber trotzdem nicht unlösbar, oder doch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Fr 28.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Noch ein Tipp: Partialbruchzerlegung
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Tobi1988 |
Brauche ich dafür nicht Nullstellen im Nenner, die hier offensichtlich nicht gegeben sind? Sorry, stehe gerade etwas auf dem Schlauch..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Fr 28.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Der Nenner lässt sich wie folgt faktorisieren
[mm] 1+x^4 [/mm] = [mm] (x^2+bx+c)(x^2+dx+e)
[/mm]
Mach mal einen solchen Ansatz ------> Koeffizientenvergleich
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Tobi1988 |
Leider kann ich nicht ganz folgen... Aber jetzt, nach etwas rumprobieren, konnte ich den Nenner so schreiben:
[mm] 1+x^4 [/mm] = [mm] -(x^2+\wurzel{2}x+1)(-x^2+\wurzel{2}x-1)
[/mm]
bzw.:
[mm] =(x^2+\wurzel{2}x+1)(x^2-\wurzel{2}x+1)
[/mm]
War das so - oder so ähnlich - gemeint?
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Hallo Tobi!
Zunächst noch: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, genau so hat das Fred gemeint.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Tobi1988 |
Vielen Dank für das Willkommen Roadrunner und vielen Dank für die Hilfe Fred!!
Bevor ich weiterrechne...
Wenn ich dann beim Koeffizientenvergleich die 4x4-Matrix (?) aufstelle, ist diese unlösbar?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Tobi1988 |
Sieht dann so aus und ist unlösbar (?):
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 \\ -\wurzel{2} & 1 & \wurzel{2} & 1 \\ 1 & -\wurzel{2} & 1 &\wurzel{2} \\ 0 & 1 & 0 & 1 } [/mm] * [mm] \vektor{a \\ b \\ c \\ d} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
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Hallo,
wenn Du Freds Vorschlag aufgreifst und [mm] $1+x^4$ [/mm] faktorisierst, dann haben deine beiden Polynome keine rellen Nullstellen. Also musst Du die Partialbruchzerlegung für komplexe Nullstellen benutzen:
[mm] $\integral \bruch{1}{1+x^4}\;dx =\integral \bruch{A*x+B}{x^2+\wurzel{2}*x+1}\;dx+\integral \bruch{C*x+D}{x^2-\wurzel{2}*x+1}\;dx [/mm] $
Dann multiplizieren mit dem Hauptnenner, kürzen, Klammern ausmultiplizieren, Koeffizientenvergleich.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Tobi1988 |
Hier die Koeffizienten, habe einfach das LGS bei "Mitteilung" gelöst:
[mm] \vektor{A \\ B \\C\\D}= \vektor{\bruch{1}{4}\wurzel{2} \\ \bruch{1}{2} \\ \bruch{-1}{4}\wurzel{2} \\ \bruch{1}{2}}
[/mm]
Habe dann also:
$ [mm] \integral \bruch{1}{1+x^4}\;dx =\integral \bruch{\bruch{1}{4}\wurzel{2}\cdot{}x+\bruch{1}{2}}{x^2+\wurzel{2}\cdot{}x+1}\;dx+\integral \bruch{\bruch{-1}{4}\wurzel{2}\cdot{}x+\bruch{1}{2}}{x^2-\wurzel{2}\cdot{}x+1}\;dx [/mm] $
Sehe leider gerade nicht, wie sich das weiter vereinfachen lässt. Laut Wolfram Integrator aber immer noch integrierbar. Bin ich auf nem falschen Weg...?
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Hallo Tobi1988,
> Hier die Koeffizienten, habe einfach das LGS bei
> "Mitteilung" gelöst:
>
> [mm]\vektor{A \\ B \\C\\D}= \vektor{\bruch{1}{4}\wurzel{2} \\ \bruch{1}{2} \\ \bruch{-1}{4}\wurzel{2} \\ \bruch{1}{2}}[/mm]
>
>
> Habe dann also:
>
> [mm]\integral \bruch{1}{1+x^4}\;dx =\integral \bruch{\bruch{1}{4}\wurzel{2}\cdot{}x+\bruch{1}{2}}{x^2+\wurzel{2}\cdot{}x+1}\;dx+\integral \bruch{\bruch{-1}{4}\wurzel{2}\cdot{}x+\bruch{1}{2}}{x^2-\wurzel{2}\cdot{}x+1}\;dx[/mm]
>
> Sehe leider gerade nicht, wie sich das weiter vereinfachen
> lässt. Laut Wolfram Integrator aber immer noch
> integrierbar. Bin ich auf nem falschen Weg...?
Der Weg ist schon richtig.
Zerlege die gebrochenrationale Polynom wie folgt:
[mm]\bruch{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}=\bruch{q'\left(x\right)}{q\left(x\right)}+\bruch{p\left(x\right)-q'\left(x\right)}{q\left(x)\right}[/mm]
, wobei Grad p=1, Grad q=2.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Tobi1988 |
Bin mal gespannt wozu das ganze führen wird:
Habe jetzt das hier, nachdem ich Mathepowers Tipp (danke!) benutzt habe...
[mm] \integral \bruch{\bruch{1}{4}\wurzel{2}\cdot{}x+\bruch{1}{2}}{x^2+\wurzel{2}\cdot{}x+1}\;dx+\integral \bruch{\bruch{-1}{4}\wurzel{2}\cdot{}x+\bruch{1}{2}}{x^2-\wurzel{2}\cdot{}x+1}\;dx [/mm]
= [mm] \integral \bruch{(\bruch{1}{4} \wurzel{2}-2)x+\bruch{1}{2}-\wurzel{2}}{x^2+\wurzel{2}x+1} [/mm] dx + [mm] \integral \bruch{2x+\wurzel{2}}{x^2+\wurzel{2}x+1} [/mm] dx + [mm] \integral \bruch{2x-\wurzel{2}}{x^2-\wurzel{2}x+1} [/mm] dx + [mm] \integral \bruch{(-\bruch{1}{4}\wurzel{2}-2)x+\bruch{1}{2}+\wurzel{2}}{x^2-\wurzel{2}x+1} [/mm] dx
Jetzt kann ich bei zwei von den vier Ausdrücken ln(...) machen um das Integral zu bekommen, aber die anderen beiden schauen irgendwie noch immer recht kompliziert aus. Was nun?
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Hallo Tobi1988,
> Bin mal gespannt wozu das ganze führen wird:
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> Habe jetzt das hier, nachdem ich Mathepowers Tipp (danke!)
> benutzt habe...
>
> [mm]\integral \bruch{\bruch{1}{4}\wurzel{2}\cdot{}x+\bruch{1}{2}}{x^2+\wurzel{2}\cdot{}x+1}\;dx+\integral \bruch{\bruch{-1}{4}\wurzel{2}\cdot{}x+\bruch{1}{2}}{x^2-\wurzel{2}\cdot{}x+1}\;dx[/mm]
> = [mm]\integral \bruch{(\bruch{1}{4} \wurzel{2}-2)x+\bruch{1}{2}-\wurzel{2}}{x^2+\wurzel{2}x+1}[/mm]
> dx + [mm]\integral \bruch{2x+\wurzel{2}}{x^2+\wurzel{2}x+1}[/mm] dx
> + [mm]\integral \bruch{2x-\wurzel{2}}{x^2-\wurzel{2}x+1}[/mm] dx +
> [mm]\integral \bruch{(-\bruch{1}{4}\wurzel{2}-2)x+\bruch{1}{2}+\wurzel{2}}{x^2-\wurzel{2}x+1}[/mm]
> dx
>
> Jetzt kann ich bei zwei von den vier Ausdrücken ln(...)
> machen um das Integral zu bekommen, aber die anderen beiden
> schauen irgendwie noch immer recht kompliziert aus. Was
> nun?
Natürlich steht da im Zähler nicht exakt die Ableitung des Nenners. Deshalb mußt Du folgendes machen:
[mm]\bruch{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}=\lambda*\bruch{q'\left(x\right)}{q\left(x\right)}+\bruch{p\left(x\right)-\lambda*q'\left(x\right)}{q\left(x\right)}[/mm]
Dabei ist [mm]\lambda[/mm] so zu wählen, daß [mm]p\left(x\right)-\lambda*q'\left(x\right)[/mm] von x unabhängig ist.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:18 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Tobi1988 |
= $ [mm] \bruch{1}{4} \integral \bruch{1}{x^2+\wurzel{2}x+1} [/mm] $ dx + $ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{8} \integral \bruch{2x+\wurzel{2}}{x^2+\wurzel{2}x+1} [/mm] $ dx - $ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{8} \integral \bruch{2x-\wurzel{2}}{x^2-\wurzel{2}x+1} [/mm] $ dx - $ [mm] \bruch{1}{4} \integral \bruch{1}{x^2-\wurzel{2}x+1} [/mm] $ dx
= $ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{8} \integral \bruch{2x+\wurzel{2}}{x^2+\wurzel{2}x+1} [/mm] $ dx - $ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{8} \integral \bruch{2x-\wurzel{2}}{x^2-\wurzel{2}x+1} [/mm] $ dx = $ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{8}*(ln(x^2+\wurzel{2}x+1) [/mm] - [mm] ln(x^2-\wurzel{2}x+1))$ [/mm] = $ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{8}*(ln(\bruch{x^2+\wurzel{2}x+1}{x^2-\wurzel{2}x+1}) [/mm] $
Hoffe ich hab die ln-Gesetze richtig angewendet. Kann ich den letzen Bruch vereinfachen? Weil noch sieht man nicht viel...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:23 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Tobi1988 |
Um das Ziel nicht aus den Augen zu verlieren gilt noch:
$ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{8}\cdot{}(ln(\bruch{x^2+\wurzel{2}x+1}{x^2-\wurzel{2}x+1}) [/mm] $ = $ [mm] \integral [/mm] 1 $ dt
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Hallo Tobi1988,
> = [mm]\bruch{1}{4} \integral \bruch{1}{x^2+\wurzel{2}x+1}[/mm] dx +
> [mm]\bruch{\wurzel{2}}{8} \integral \bruch{2x+\wurzel{2}}{x^2+\wurzel{2}x+1}[/mm]
> dx - [mm]\bruch{\wurzel{2}}{8} \integral \bruch{2x-\wurzel{2}}{x^2-\wurzel{2}x+1}[/mm]
> dx - [mm]\bruch{1}{4} \integral \bruch{1}{x^2-\wurzel{2}x+1}[/mm]
> dx
Das muss lauten:
[mm]\red{+}\bruch{1}{4} \integral \bruch{1}{x^2-\wurzel{2}x+1} \ dx}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{\wurzel{2}}{8} \integral \bruch{2x+\wurzel{2}}{x^2+\wurzel{2}x+1}[/mm]
> dx - [mm]\bruch{\wurzel{2}}{8} \integral \bruch{2x-\wurzel{2}}{x^2-\wurzel{2}x+1}[/mm]
> dx = [mm]\bruch{\wurzel{2}}{8}*(ln(x^2+\wurzel{2}x+1) - ln(x^2-\wurzel{2}x+1))[/mm]
> =
> [mm]\bruch{\wurzel{2}}{8}*(ln(\bruch{x^2+\wurzel{2}x+1}{x^2-\wurzel{2}x+1})[/mm]
Richtig muss es heißen:
[mm]\bruch{\wurzel{2}}{8}*(ln(\bruch{x^2+\wurzel{2}x+1}{x^2-\wurzel{2}x+1})+\bruch{1}{4} \integral{\bruch{1}{x^2+\wurzel{2}x+1} \ dx}+\bruch{1}{4} \integral{\bruch{1}{x^2-\wurzel{2}x+1} \ dx}[/mm]
Es sind also noch folgende Integrale auszurechnen:
[mm]\bruch{1}{4} \integral{\bruch{1}{x^2+\wurzel{2}x+1} \ dx}= \ \dots[/mm]
[mm]\bruch{1}{4} \integral{\bruch{1}{x^2-\wurzel{2}x+1} \ dx}=\ \dots[/mm]
>
> Hoffe ich hab die ln-Gesetze richtig angewendet. Kann ich
> den letzen Bruch vereinfachen? Weil noch sieht man nicht
> viel...
Jo, hast Du richtig angewandt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Tobi1988 |
$ [mm] \bruch{1}{4} \integral{\bruch{1}{x^2+\wurzel{2}x+1} \ dx}= \bruch{\wurzel{2}}{4} [/mm] * [mm] tan^{-1}(\wurzel{2}x+1) [/mm] $
$ [mm] \bruch{1}{4} \integral{\bruch{1}{x^2-\wurzel{2}x+1} \ dx}= \bruch{-\wurzel{2}}{4} [/mm] * [mm] tan^{-1}(1-\wurzel{2}x) [/mm] $
(Laut Wolfram Integrator, hoffe das ist ok, wusste auf die Schnelle nicht wie substituieren...)
Aber was sagt mir das dann, bzw. wie kann ich weiter umformen? Ich habe nun die DGL umgeformt in folgenden Ausdruck:
$ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{8}\cdot{}(ln(\bruch{x^2+\wurzel{2}x+1}{x^2-\wurzel{2}x+1})+\bruch{\wurzel{2}}{4} [/mm] * [mm] tan^{-1}(\wurzel{2}x+1)+\bruch{-\wurzel{2}}{4} [/mm] * [mm] tan^{-1}(1-\wurzel{2}x) [/mm] $ = $ [mm] \integral [/mm] 1 $ dt
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Hallo Tobi1988,
> [mm]\bruch{1}{4} \integral{\bruch{1}{x^2+\wurzel{2}x+1} \ dx}= \bruch{\wurzel{2}}{4} * tan^{-1}(\wurzel{2}x+1) [/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{4} \integral{\bruch{1}{x^2-\wurzel{2}x+1} \ dx}= \bruch{-\wurzel{2}}{4} * tan^{-1}(1-\wurzel{2}x)[/mm]
>
> (Laut Wolfram Integrator, hoffe das ist ok, wusste auf die
> Schnelle nicht wie substituieren...)
>
> Aber was sagt mir das dann, bzw. wie kann ich weiter
> umformen? Ich habe nun die DGL umgeformt in folgenden
> Ausdruck:
>
> [mm]\bruch{\wurzel{2}}{8}\cdot{}(ln(\bruch{x^2+\wurzel{2}x+1}{x^2-\wurzel{2}x+1})+\bruch{\wurzel{2}}{4} * tan^{-1}(\wurzel{2}x+1)+\bruch{-\wurzel{2}}{4} * tan^{-1}(1-\wurzel{2}x)[/mm]
> = [mm]\integral 1[/mm] dt
Hier kannst Du nicht weiterumformen, so daß [mm]x\left(t\right)= \ \dots [/mm].
Es gibt nur eine implizite Darstellung der Funktion [mm]x\left(t\right)[/mm].
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Tobi1988 |
Hmm, das ist aber nicht ganz optimal, weil mein Ziel ist ja eigentlich zu zeigen, dass es diese Funktion nicht wirklich gibt. Also es gibt kein x, so dass die DGL erfüllt ist.
Mit der Gleichung wird das aber nicht ersichtlich... Oder gibt es irgendwo einen versteckten Widerspruch?
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Hallo Tobi1988,
> Hmm, das ist aber nicht ganz optimal, weil mein Ziel ist ja
> eigentlich zu zeigen, dass es diese Funktion nicht wirklich
> gibt. Also es gibt kein x, so dass die DGL erfüllt ist.
> Mit der Gleichung wird das aber nicht ersichtlich... Oder
> gibt es irgendwo einen versteckten Widerspruch?
Aus der impliziten Lösungdarstellung für [mm]x\left(t\right)[/mm] kann man nicht schließen, daß es diese Funktion nicht gibt.
Es gibt nur keine explizite Lösungsdarstellung für diese Funktion.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Tobi1988 |
Hmm, falls jemand eine Idee hat, ob es eine andere Art gibt, um die Existenz der DGL zu zeigen, wäre es nett sich zu melden.
Ansonsten trotzdem vielen Dank an alle die geholfen haben!!
VIele Grüße
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