Existenz holomorphe Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Di 22.05.2012 | | Autor: | teo |
| Aufgabe | | Es sei [mm]U := \{z\in \IC: |z| < \frac{1}{2}\}[/mm]. Zeigen Sie, dass es eine holomorphe Funktion [mm] h: U\to \IC[/mm] mit [mm] e^{h(z)}=1+z^5+z^{10}[/mm] für alle [mm]z\in U[/mm] gibt. |
Hallo,
hier weiß ich leider gar nicht wie ich da ran gehen soll. Könnte mir vlt. jemand eine Hilfestellung geben?
Vielen Dank!
Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Di 22.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]U := \{z\in \IC: |z| < \frac{1}{2}\}[/mm]. Zeigen Sie,
> dass es eine holomorphe Funktion [mm]h: U\to \IC[/mm] mit
> [mm]e^{h(z)}=1+z^5+z^{10}[/mm] für alle [mm]z\in U[/mm] gibt.
>
> Hallo,
>
> hier weiß ich leider gar nicht wie ich da ran gehen soll.
> Könnte mir vlt. jemand eine Hilfestellung geben?
Die Funktion [mm] f(z)=1+z^5+z^{10} [/mm] hat auf U keinen Nullstellen. Zeige das !
Da U einfach zusammenhängend ist, ex. ein h mit den geforderten Eigenschaften.
FRED
>
> Vielen Dank!
>
> Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Di 22.05.2012 | | Autor: | teo |
> > Es sei [mm]U := \{z\in \IC: |z| < \frac{1}{2}\}[/mm]. Zeigen Sie,
> > dass es eine holomorphe Funktion [mm]h: U\to \IC[/mm] mit
> > [mm]e^{h(z)}=1+z^5+z^{10}[/mm] für alle [mm]z\in U[/mm] gibt.
> >
> > Hallo,
> >
> > hier weiß ich leider gar nicht wie ich da ran gehen soll.
> > Könnte mir vlt. jemand eine Hilfestellung geben?
>
> Die Funktion [mm]f(z)=1+z^5+z^{10}[/mm] hat auf U keinen
> Nullstellen. Zeige das !
>
> Da U einfach zusammenhängend ist, ex. ein h mit den
> geforderten Eigenschaften.
>
Ok, ich habe hier einen Satz der fordert zusätzlich noch, dass U [mm] \to \IC, [/mm] z [mm] \mapsto \frac{f'(z)}{f(z)} [/mm] eine Stammfunktion besitzt. Ich frage mich gerade ob U [mm] \to \IC, [/mm] z [mm] \mapsto \frac{f'(z)}{f(z)} [/mm] nicht immer eine Stammfunktion besitzt, denn wenn f Nullstellenfrei ist dann hat der Nenner keine Nullstellen also hat die Funktion z [mm] \mapsto \frac{f'(z)}{f(z)} [/mm] keine isolierten Singularitäten, also ist [mm] \integral_{\gamma}\frac{f'(z)}{f(z)} [/mm] dz = 0 für jeden geschlossenen Weg [mm] \gamma [/mm] in U.
Ist dann das h(z) in der Aufgabe dann ein Zweig des Logarithmus?
Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:44 Mi 23.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > Es sei [mm]U := \{z\in \IC: |z| < \frac{1}{2}\}[/mm]. Zeigen Sie,
> > > dass es eine holomorphe Funktion [mm]h: U\to \IC[/mm] mit
> > > [mm]e^{h(z)}=1+z^5+z^{10}[/mm] für alle [mm]z\in U[/mm] gibt.
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > hier weiß ich leider gar nicht wie ich da ran gehen soll.
> > > Könnte mir vlt. jemand eine Hilfestellung geben?
> >
> > Die Funktion [mm]f(z)=1+z^5+z^{10}[/mm] hat auf U keinen
> > Nullstellen. Zeige das !
> >
> > Da U einfach zusammenhängend ist, ex. ein h mit den
> > geforderten Eigenschaften.
> >
> Ok, ich habe hier einen Satz der fordert zusätzlich noch,
> dass U [mm]\to \IC,[/mm] z [mm]\mapsto \frac{f'(z)}{f(z)}[/mm] eine
> Stammfunktion besitzt. Ich frage mich gerade ob U [mm]\to \IC,[/mm]
> z [mm]\mapsto \frac{f'(z)}{f(z)}[/mm] nicht immer eine Stammfunktion
> besitzt, denn wenn f Nullstellenfrei ist dann hat der
> Nenner keine Nullstellen also hat die Funktion z [mm]\mapsto \frac{f'(z)}{f(z)}[/mm]
> keine isolierten Singularitäten, also ist
> [mm]\integral_{\gamma}\frac{f'(z)}{f(z)}[/mm] dz = 0 für jeden
> geschlossenen Weg [mm]\gamma[/mm] in U.
Ja, f'/f besitzt auf U eine Stammfunktion F. Setze [mm] g:=e^F/f [/mm] und zeige, dass g auf U konstant ist.
Es gibt also eine Konstante c mit: [mm] e^F=cf [/mm] auf U. Da c [mm] \ne [/mm] 0 ist, gibt es ein a [mm] \in \IC [/mm] mit [mm] c=e^a.
[/mm]
Mach Du den Rest.
>
> Ist dann das h(z) in der Aufgabe dann ein Zweig des
> Logarithmus?
h ist ein holomorpher Logarithmus von f auf U.
FRED
>
> Danke!
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:23 Mi 23.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Dass f'/f auf U eine Stammfunktion besitzt kann man auch so sehen:
f'/f ist auf U holomorph, also gilt:
[mm] \bruch{f'(z)}{f(z)}=\summe_{n=0}^{\infty}a_n*z^n [/mm] für |z|<1/2.
Die Potenzreihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{a_n}{n+1}*z^{n+1}
[/mm]
konvergiert ebenfalls für |z|<1/2 und stellt somit eine auf U holomorphe Funktion F dar.
Also:
$F(z)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{a_n}{n+1}*z^{n+1}$ [/mm] für z [mm] \in [/mm] U.
Nun sieht man sofort, dass gilt: $F'(z)= [mm] \bruch{f'(z)}{f(z)}$ [/mm] für z [mm] \in [/mm] U.
FRED
P.S.: das lässt sich natürlich verallgemeinern: benutzt wurde nur, dass f auf einer offenen Kreisscheibe um 0 holomorph und nullstellenfrei ist.
FRED
|
|
|
|
