Existenz partielle Ableitung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe diese Frage hier zwar vor einigen Tagen schon mal gestellt - bekam aber keine Antwort und mein Ansatz ist nun etwas "weiter" und es haben sich neue Fragen ergeben... Daher hier nochmals die Fragen.
Folgende Aufgabe ist zu bearbeiten:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Okay. Also ich soll alle [mm] \alpha [/mm] > 0 und alle x [mm] \in \IR^2 [/mm] bestimmen für die die partiellen Ableitungen existieren.
[mm] \partial_1 [/mm] f(x) existiert ja genau dann in x, wenn [mm] \frac{1}{h} [/mm] f(x + h [mm] e_1) [/mm] - f(x) für h [mm] \to [/mm] 0 einen Grenzwert besitzt. [mm] e_1 [/mm] ist in diesem Falle (1, [mm] 0)^T.
[/mm]
Nun stehe ich ein wenig auf dem Schlauch. Im heutigen Tutorium haben wir z.B gezeigt, dass partiellen Ableitungen der Funktion
F(x, [mm] y)=\begin{cases} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}, & \mbox{für } (x, y)^T \not= (0,0)^T \mbox{} \\ 0, & \mbox{sonst } \mbox{} \end{cases}
[/mm]
existieren. Dies war recht einfach, da nach einem Satz, der in der Vorlesung bewiesen wurde die partiellen Ableitungen von F auf [mm] \IR^2 \backslash \{(0, 0)^T\} [/mm] existieren. Wir mussten also lediglich noch die Existenz der partiellen Ableitungen für einen konkreten Punkt, nämlich für (0, [mm] 0)^T [/mm] zeigen.
Bei der mir nun vorliegenden Aufgabe habe ich ja keinen konkreten Punkt. Natürlich habe ich bereits fleißig "rumprobiert" und verschiedene Dinge probiert.
Habe z.B x als [mm] (x_1, x_2)^T [/mm] geschrieben und dann versucht alle x und [mm] \alpha [/mm] zu finden, für die:
[mm] \frac{1}{h} [/mm] f(x + h [mm] e_1) [/mm] - f(x) = [mm] \frac{1}{h} f((x_1, x_2)^T [/mm] + (h, [mm] 0)^T) [/mm] - [mm] f((x_1, x_2)^T) [/mm] = [mm] \frac{1}{h} f((x_1 [/mm] + h, [mm] x_2)^T) [/mm] - [mm] f((x_1, x_2)^T) [/mm]
= [mm] \frac{1}{h} ((|x_1 [/mm] + [mm] h|)^p [/mm] + [mm] (|x_2|)^p)^{\frac{\alpha}{p}} [/mm] - [mm] ((|x_1|)^p [/mm] + [mm] (|x_2|)^p)^{\frac{\alpha}{p}}
[/mm]
einen Grenzwert hat.
Aber dies scheint nicht der richtige Weg zu sein.
Hat jemand von euch einen Tipp?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hi,
> Hallo,
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> ich habe diese Frage hier zwar vor einigen Tagen schon mal
> gestellt - bekam aber keine Antwort und mein Ansatz ist nun
> etwas "weiter" und es haben sich neue Fragen ergeben...
> Daher hier nochmals die Fragen.
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> Folgende Aufgabe ist zu bearbeiten:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Okay. Also ich soll alle [mm]\alpha[/mm] > 0 und alle x [mm]\in \IR^2[/mm]
> bestimmen für die die partiellen Ableitungen existieren.
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> [mm]\partial_1[/mm] f(x) existiert ja genau dann in x, wenn
> [mm]\frac{1}{h}[/mm] f(x + h [mm]e_1)[/mm] - f(x) für h [mm]\to[/mm] 0 einen Grenzwert
> besitzt. [mm]e_1[/mm] ist in diesem Falle (1, [mm]0)^T.[/mm]
>
> Nun stehe ich ein wenig auf dem Schlauch. Im heutigen
> Tutorium haben wir z.B gezeigt, dass partiellen Ableitungen
> der Funktion
>
> F(x, [mm]y)=\begin{cases} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}, & \mbox{für } (x, y)^T \not= (0,0)^T \mbox{} \\ 0, & \mbox{sonst } \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> existieren. Dies war recht einfach, da nach einem Satz, der
> in der Vorlesung bewiesen wurde die partiellen Ableitungen
> von F auf [mm]\IR^2 \backslash \{(0, 0)^T\}[/mm] existieren. Wir
> mussten also lediglich noch die Existenz der partiellen
> Ableitungen für einen konkreten Punkt, nämlich für (0, [mm]0)^T[/mm]
> zeigen.
>
> Bei der mir nun vorliegenden Aufgabe habe ich ja keinen
> konkreten Punkt. Natürlich habe ich bereits fleißig
> "rumprobiert" und verschiedene Dinge probiert.
>
> Habe z.B x als [mm](x_1, x_2)^T[/mm] geschrieben und dann versucht
> alle x und [mm]\alpha[/mm] zu finden, für die:
>
> [mm]\frac{1}{h}[/mm] f(x + h [mm]e_1)[/mm] - f(x) = [mm]\frac{1}{h} f((x_1, x_2)^T[/mm]
> + (h, [mm]0)^T)[/mm] - [mm]f((x_1, x_2)^T)[/mm] = [mm]\frac{1}{h} f((x_1[/mm] + h,
> [mm]x_2)^T)[/mm] - [mm]f((x_1, x_2)^T)[/mm]
>
> = [mm]\frac{1}{h} ((|x_1[/mm] + [mm]h|)^p[/mm] +
> [mm](|x_2|)^p)^{\frac{\alpha}{p}}[/mm] - [mm]((|x_1|)^p[/mm] +
> [mm](|x_2|)^p)^{\frac{\alpha}{p}}[/mm]
>
> einen Grenzwert hat.
>
> Aber dies scheint nicht der richtige Weg zu sein.
>
> Hat jemand von euch einen Tipp?
>
erster tip: schau dir diese funktion doch mal im 1-dim. an, wie sieht es denn da aus?
dann: solange [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] ungleich 0 sind, gibt es keine probleme, dann kannst du einfach die part. ableitungen mit den bekannten regeln berechnen. getrennt untersuchen musst du die achsen [mm] (x_1,0), (0,x_2) [/mm] und natuerlich den nullpunkt.
gruss
matthias
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Hallo,
vielen Dank für deine Tipps.
Habe mich auch gleich an die Arbeit gemacht. Hier mein Versuch:
Untersuchung auf Existenz der partiellen Ableitung bzgl. der [mm] (x_1, 0)^T [/mm] -Achse.
Setze x := [mm] (x_1, 0)^T [/mm] mit [mm] x_1 \not= [/mm] 0, [mm] \alpha [/mm] > 0, h [mm] \in \IR. x_1 [/mm] ist ungleich Null, da ich ja den Nullpunkt getrennt behandeln soll.
Nun schau ich, ob der Ausdruck
[mm] \frac{1}{h} [/mm] f(x + h [mm] e_1) [/mm] - f(x)
für h [mm] \to [/mm] 0 einen Grenzwert hat. Falls ja existiert für alle x die die Form [mm] (x_1, 0)^T [/mm] mit [mm] x_1 \not= [/mm] 0 haben die erste partielle Ableitung. Richtig?
Also:
[mm] \frac{1}{h} [/mm] f(x + h [mm] e_1) [/mm] - f(x) = [mm] \frac{1}{h} f((x_1 [/mm] + h, [mm] 0)^T) [/mm] - [mm] f((x_1, 0)^T) [/mm]
= [mm] \frac{1}{h} (|x_1 [/mm] + [mm] h|)^{\alpha} [/mm] - [mm] (|x_1|)^{\alpha}
[/mm]
Da hier für h [mm] \to [/mm] 0 Zähler und Nenner gegen 0 streben kann ich L'Hospital anwenden und Zähler sowie Nenner getrennt ableiten:
= [mm] \frac{(|x_1 + h|)^{\alpha} \alpha}{h + x_1} \to \frac{(|x_1|)^{\alpha} \alpha}{x_1} [/mm] (h [mm] \to [/mm] 0)
Da sieht man jetzt auch, dass [mm] x_1 [/mm] in diesem Falle nicht 0 sein durfte. Man sieht auch, dass anscheinend ein Grenzwert existiert. Daraus folgt, dass die partielle Ableitung für diese x gilt.
Stimmt das soweit?
Nun würde ich das noch für die andere Achse durchrechnen und für den Nullpunkt. Dann wäre ich fertig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 Mo 02.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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