Existenz stetiger Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Do 19.03.2015 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe | Existiert eine stetige Funktion
a) [mm] f:[-2,5]\to(0,1)
[/mm]
b) [mm] f:\{(x,y):||(x,y)||\le1\}\to[0,\infty)
[/mm]
die surjektiv ist? |
Hi!
Habe leider wenig bis gar keine Ahnung, wie ich an diese Übung rangehen sollte...
Ein Versuch zu a):
sei I=[-2,5] die Definitionsmenge
es gilt ja, dass I eine kompakte Menge ist, da I abgeschlossen und beschränkt ist
nun gilt ja (Satz aus der Vorlesung) für die Bildmenge f(I), also die Menge aller Funktionswerte, dass diese ebenfalls kompakt sein muss!
das Intervall (0,1) ist jedoch nicht kompakt, da es eine offene Menge ist
dies ist ein Widerspruch zur Eigenschaft der Bilder von kompakten Mengen
also gibt es keine surjektive Funktion f:[-2,5]-(0,1)???
alternativ:
sei hier I=(0,1), D sei die Definitionsmenge
die Aussage "f ist stetig auf [mm] D"\gdw"\forall [/mm] I [mm] offen\to f^{-1}(I) [/mm] offen" ist hier nicht erfüllt
weil angenommen, f wäre stetig auf D
dann würde aus der Menge I, die hier offen ist, folgen, dass [mm] f^{-1} [/mm] ebenfalls offen sein muss
[-2,5] ist jedoch eine geschlossene Menge
also ist f nicht stetig
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Do 19.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Existiert eine stetige Funktion
>
> a) [mm]f:[-2,5]\to(0,1)[/mm]
>
> b) [mm]f:\{(x,y):||(x,y)||\le1\}\to[0,\infty)[/mm]
>
> die surjektiv ist?
>
> Hi!
>
> Habe leider wenig bis gar keine Ahnung, wie ich an diese
> Übung rangehen sollte...
>
> Ein Versuch zu a):
>
> sei I=[-2,5] die Definitionsmenge
> es gilt ja, dass I eine kompakte Menge ist, da I
> abgeschlossen und beschränkt ist
> nun gilt ja (Satz aus der Vorlesung) für die Bildmenge
> f(I), also die Menge aller Funktionswerte, dass diese
> ebenfalls kompakt sein muss!
> das Intervall (0,1) ist jedoch nicht kompakt, da es eine
> offene Menge ist
> dies ist ein Widerspruch zur Eigenschaft der Bilder von
> kompakten Mengen
> also gibt es keine surjektive Funktion f:[-2,5]-(0,1)???
>
> alternativ:
> sei hier I=(0,1), D sei die Definitionsmenge
> die Aussage "f ist stetig auf [mm]D"\gdw"\forall[/mm] I [mm]offen\to f^{-1}(I)[/mm]
> offen" ist hier nicht erfüllt
> weil angenommen, f wäre stetig auf D
> dann würde aus der Menge I, die hier offen ist, folgen,
> dass [mm]f^{-1}[/mm] ebenfalls offen sein muss
> [-2,5] ist jedoch eine geschlossene Menge
> also ist f nicht stetig
Alles bestens
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Do 19.03.2015 | | Autor: | dodo1924 |
Yeeah!
Zu b) [mm] f:\{(x,y):||(x,y)||\le1\}\to[0,\infty)
[/mm]
es gilt ja:
[mm] ||(x,y)||=\wurzel{x^2+y^2}\le1
[/mm]
also [mm] x^2+y^2\le1
[/mm]
das ist ja nichts anderes als der Einheitskreis mit Rand!
dieser ist eine abgeschlossene Menge
außerdem ist die Menge [mm] ||(x,y)||\le1 [/mm] ja beschränkt durch 1
also ist die Menge kompakt
sei [mm] I={(x,y):||(x,y)||\le1\}
[/mm]
nun gilt ja (wie bereits oben erwähnt), dass dann auf f(I) ebenfalls kompakt sein muss
die Menge [mm] [0,\infty) [/mm] ist nun unbeschränkt, also kann sie auch nicht kompakt sein
dadurch ergibt sich wieder ein Widerspruch
also gibt es keine surjektive stetige Funktion [mm] f:\{(x,y):||(x,y)||\le1\}\to[0,\infty)
[/mm]
richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Do 19.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
bevor Du Dich über meine lange Antwort wunderst: Im Wesentlichen ist bei
dem, was Du sagst, alles ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") !
> Yeeah!
>
> Zu b) [mm]f:\{(x,y):||(x,y)||\le1\}\to[0,\infty)[/mm]
>
> es gilt ja:
> [mm]||(x,y)||=\wurzel{x^2+y^2}\le1[/mm]
> also [mm]x^2+y^2\le1[/mm]
>
> das ist ja nichts anderes als der Einheitskreis
Ja, des [mm] $\IR^2$ [/mm] - wobei Du sicher natürlich sagen wirst, dass Du eh nur im
[mm] $\IR^2$ [/mm] den Begriff "Kreis" benutzt. 
> mit Rand!
> dieser ist eine abgeschlossene Menge
Ist Dir auch klar, warum? Oder benutzt Du einen "topologischen" Satz, der
sowas sagt, wie, dass der Abschluss einer Menge die Menge vereinigt mit
ihrem Rand ist; und dann einen, der sagt, dass der Abschluss auch
abgeschlossen ist?
> außerdem ist die Menge [mm]||(x,y)||\le1[/mm] ja beschränkt durch
> 1
Die Menge ist
[mm] $\{(x,y) \red{\,\in \IR^2\,} \mid \|(x,y)\| \le 1\}$.
[/mm]
Dass diese (bzgl. [mm] $\|.\|$) [/mm] beschränkt ist, sieht man per Definitionem der Menge!
> also ist die Menge kompakt
Genau. Nach welchem Satz?
> sei [mm]I={(x,y):||(x,y)||\le1\}[/mm]
Man weiß, dass Du [mm] $I=\{(x,y) \red{\,\in\,\IR^2}:\|(x,y)\|\le 1\}$ [/mm] meinst, schreibe es
dennoch lieber so ausführlich aus!
> nun gilt ja (wie bereits oben erwähnt), dass dann auf f(I)
> ebenfalls kompakt sein muss
Ja: Bilder kompakter Mengen unter stetigen Funktionen sind kompakt.
> die Menge [mm][0,\infty)[/mm] ist nun unbeschränkt, also kann sie
> auch nicht kompakt sein
Wieder: Nach welchem Satz?
> dadurch ergibt sich wieder ein Widerspruch
>
> also gibt es keine surjektive stetige Funktion
> [mm]f:\{(x,y):||(x,y)||\le1\}\to[0,\infty)[/mm]
> richtig?
Ja.
Ich mach's mal in einer Kurzfassung: Weil Bilder kompakter Mengen unter
stetigen Funktionen wieder kompakt sind und damit insbesondere beschränkt,
kann es eine surjektive Funktion $f [mm] \colon I:=\{(x,y) \in \IR^2 \mid x^2+y^2 \le 1\}\to [0,\infty)$ [/mm] nicht
geben; denn [mm] $I\,$ [/mm] ist eine beschränkte und abgeschlossene Teilmenge des [mm] $\IR^2$
[/mm]
(mit *euklidischer Standardmetrik*), die nach dem Satz desr HB-Männchens
(na, welchen Satz meine ich?) kompakt ist.
Wenn Du willst, schreibst Du dann noch:
1.) [mm] $I\,$ [/mm] ist abgeschlossen, denn: ... (zu Ende begründen)
2.) [mm] $I\,$ [/mm] ist (offenbar) beschränkt, denn für alle $z=(x,y) [mm] \in [/mm] I$ folgt offensichtlich...
P.S. Dass [mm] $[0,\infty)$ [/mm] unbeschränkt ist, könntest Du auch beweisen, aber
das ist nun wirklich ein *Beweis durch hinsehen, was da steht*. (Nicht,
dass das bei 2.) irgendwie großartig anders wäre!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 Do 19.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Existiert eine stetige Funktion
>
> a) [mm]f:[-2,5]\to(0,1)[/mm]
>
> b) [mm]f:\{(x,y):||(x,y)||\le1\}\to[0,\infty)[/mm]
>
> die surjektiv ist?
>
> Hi!
>
> Habe leider wenig bis gar keine Ahnung, wie ich an diese
> Übung rangehen sollte...
>
> Ein Versuch zu a):
>
> sei I=[-2,5] die Definitionsmenge
> es gilt ja, dass I eine kompakte Menge ist, da I
> abgeschlossen und beschränkt ist
> nun gilt ja (Satz aus der Vorlesung) für die Bildmenge
> f(I), also die Menge aller Funktionswerte, dass diese
> ebenfalls kompakt sein muss!
Du solltest dazuschreiben, dass Du annimmst, dass es eine solche stetige
Funktion namens [mm] $f\,$ [/mm] gäbe. (Es geht aus dem Rest hervor; daher ist dieses
*Verschweigen* hier nicht wirklich tragisch. Aber damit alles ganz sauber
ist: dazuschreiben!)
> das Intervall (0,1) ist jedoch nicht kompakt, da es eine
> offene Menge ist
> dies ist ein Widerspruch zur Eigenschaft der Bilder von
> kompakten Mengen
> also gibt es keine surjektive Funktion f:[-2,5]-(0,1)???
>
> alternativ:
> sei hier I=(0,1), D sei die Definitionsmenge
> die Aussage "f ist stetig auf [mm]D"\gdw"\forall[/mm] I [mm]offen\to f^{-1}(I)[/mm]
> offen" ist hier nicht erfüllt
> weil angenommen, f wäre stetig auf D
> dann würde aus der Menge I, die hier offen ist, folgen,
> dass [mm]f^{-1}[/mm] ebenfalls offen sein muss
> [-2,5] ist jedoch eine geschlossene Menge
> also ist f nicht stetig
Beim Rest sehe ich es genauso wie Fred.
Gruß,
Marcel
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