Existenz von Eigenwerten < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Fr 16.01.2009 | | Autor: | SEiCON |
Hallo! Ich habe ein paar Fragen die in meiner LA Vorlesung nicht geklärt worden sind:
Gibt es (nxn) Matrizen über dem Körper C die keine Eigenwerte haben (falls ja bitte ein Beispiel geben) ?
Unter was für Bedingungen ist es möglich, dass eine Matrix keine Eigenwerte besitzt? Unter welchen Bedingungen (also z.b. über welchen Körpern) besitzt jede Matrix garantiert mindestans einen Eigenwert?
Was bedeutet es geometrisch gesehen wenn eine Matrix keine Eigenwerte hat ?
Würde mir echt weiterhelfen :)
Viele Grüße
S.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Fr 16.01.2009 | | Autor: | max3000 |
Hallo
Ich hab mal meinen Hefter rausgekramt und schreib dir einfach mal ein Paar Sätze ab, die deine Fragen beantworten könnten...
A besitzt einen Eigenwert, falls n ungerade ist
A besitzt höchstens n Eigenwerte.
Falls V ein Vektorraum über [mm] \IC [/mm] ist, dann besitzt f genau n Eigenwerte.
Quasi ist das so zu verstehen, dass es immer n Eigenwerte gibt, nur manche kommen mehrfach vor (algebraische Vielfachheit) oder sind komplex.
Also die Formulierung "A besitzt keine Eigenwerte" sollte eigentlich lauten "A besitzt keine reellen Eigenwerte".
Eigentlich sind die meisten Aussagen auf das charakteristische Polynom zurückzuführen, wo dann wiederrum der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass dieses Polynom genau n Lösungen hat (reell oder komplex).
Hoffe das hat dir ein bisschen weitergeholfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Sa 17.01.2009 | | Autor: | SEiCON |
Hallo ! Schon mal danke für deine Antwort ... ein paar Dinge sind mir noch nicht ganz klar geworden
>> A besitzt einen Eigenwert, falls n ungerade ist
Wie meinst du das ?
für n = 2
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 7 } [/mm] besitzt die Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] = 1 und [mm] \lambda [/mm] = 7 und n ist gerade.
>> Falls V ein Vektorraum über ist, dann besitzt f genau n Eigenwerte.
Was meinst du hier mit f?
>> Quasi ist das so zu verstehen, dass es immer n Eigenwerte gibt, nur
>> manche kommen mehrfach vor (algebraische Vielfachheit) oder sind
>> komplex.
>> Also die Formulierung "A besitzt keine Eigenwerte" sollte eigentlich
>> lauten "A besitzt keine reellen Eigenwerte".
Ist das dann so zu verstehen, dass jede Matrix aus K(n,n) mit K Körper,
mindestens einen Eigenwert besitzt, wenn K algebraisch abgeschlossen ist ??
Viele Grüße
S.
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> >> A besitzt einen Eigenwert, falls n ungerade ist
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> Wie meinst du das ?
>
> für n = 2
> [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 7 }[/mm] besitzt die Eigenwerte [mm]\lambda[/mm] =
> 1 und [mm]\lambda[/mm] = 7 und n ist gerade.
Hallo,
ja.
Es sind aber auch 2x2-Matrizen denkbar, die keinen (reellen) Eigenwert haben. Nimm z.B. die Matrix einer Drehung um 30° um den Ursprung
Wenn man aber eine nxn-Matrix mit n ungerade hat, hat man die Garantie, daß es mindestens einen Eigenwert gibt. Das charakteristische Polynom ist dann ja ein ungerade, und ungerade Polynome haben mindestens eine Nullstelle.
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> >> Falls V ein Vektorraum über [mm] \red{ \IC} [/mm] ist, dann besitzt f genau n
> Eigenwerte.
>
> Was meinst du hier mit f?
Mit f ist ein Endomorphismus gemeint - Du kannst schadlos A dafür einsetzen, also die darstellende Matrix.
> Ist das dann so zu verstehen, dass jede Matrix aus K(n,n)
> mit K Körper,
> mindestens einen Eigenwert besitzt, wenn K algebraisch
> abgeschlossen ist ??
Die Aussage geht weit darüber hinaus: wenn Du eine nxn-Matrix A über einem abgeschlossenen Körper betrachtest, hat sie genau n (nicht notwendigerweise) verschiedene Eigenwerte.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:28 Sa 17.01.2009 | | Autor: | SEiCON |
Vielen Dank euch beiden :)
Habe es verstanden.
Grüße S.
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