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| Aufgabe | Für das lineare Randwertproblem
[mm] $\mathcal{L}x:=x'(t)- [/mm] A(t)x(t)=r(t) , \ [mm] t\in [/mm] J:=[a,b] $
[mm] $\mathcal{B}x:=B_a [/mm] x(a) + [mm] B_b [/mm] x(b) = [mm] \beta [/mm] $
mit
$A [mm] \in \mathcal{C}([a,b],\mathbbm{R}^{n\times n}) [/mm] , [mm] B_a [/mm] , [mm] B_b \in \mathbbm{R}^{n \times n }, [/mm] r [mm] \in\mathcal{C}([a,b],\mathbbm{R}^{n}), \beta \in \mathbbm{R}^n [/mm] $
sind folgende Aussagen äquivalent:
i) das homogene Problem (das heißt: [mm] $r(t)\equiv [/mm] 0, [mm] \beta=0$) [/mm] hat nur die triviale Lösung,
ii) $M:=B_aX(a;a)+B_bX(b;a)$ ist invertierbar,
iii) das Randwertproblem hat für jedes $r$ und [mm] $\beta$ [/mm] genau eine Lösung. |
Hallo,
ich arbeite an meiner Semesterarbeit und muss den obigen Satz beweisen.
Nur eine Richtung von (ii) auf (iii) bereitet mir Schwierigkeiten:
Bisher habe ich mit einem folgenden Beweis versucht:
(ii)->>> (iii)
Jede Lösung der linearen Differentialgleichung ist nach dem Superpositionsprinzip von der Form
$x(t)= X(t;a) c + v(t;a), \ [mm] t\in [/mm] J.$
Dabei ist [mm] $v(\cdot;a)$ [/mm] eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung,
die der Gleichung [mm] $\mathcal{L}v(\cdot;a)=r(\cdot)$ [/mm] genügt,
mit $\ [mm] v(a;a)\in \mathbbm{R}^n$ [/mm] beliebig.
[mm] $X(\cdot;a)c$ [/mm] ist die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung mit [mm] $X(\cdot;a)$ [/mm] eine Fundamentalmatrix.
Wir wissen zusätzlich, dass $ [mm] \mathcal{B}x=B_ax(a) [/mm] +B_bx(b)= [mm] \beta.$
[/mm]
Die allgemeine Lösungsformel lässt sich in die Randbedingung einsetzen und wir erhalten
[mm] $(\underbrace{B_aX(a;a)+B_bX(b;a)}_M)c+B_av(a;a)+B_bv(b;a)=\beta.$
[/mm]
M ist invertierbar nach der Voraussetzung (ii) und damit folgt
[mm] $c=M^{-1}\left( \beta-B_av(a;a)-B_bv(b;a)\right).$
[/mm]
Dieses legt $c$ eindeutig fest.
Warum gibt es jetzt für jedes [mm] $\beta$ [/mm] und $r$ eine eindeutige Lösung.
Was habe ich vergessen bzw. wo ist mein Denkfehler??
Über eine Hilfe/Antwort wäre ich sehr dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 30.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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