Existenzsatz Stammfkt < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:06 Do 11.09.2014 | | Autor: | nero08 |
Hallo!
Ich bin mir beim beweis für Stammfunktionen etwas unsicher, und möchte so teile hinterfragen, welche mir nicht ganz klar sind:
Bem: zwecks skizze füge ich ausnahmsweise mal Bilder ein:
teil1_bew_stammfkt
Zu beginn verwende ich, dass es sich um eine Treppenfunktion handelt. Die Grenzen also [mm] x_j [/mm] bzw. x können frei gewählt werden, da sie ja für die Treppenfunktion ansich per definiton nicht relevant sind.
Die Skizze bereitet mir Probleme. Mir ist nicht mehr klar, was eigentlich die rote Funktion darstellen soll.
Danach wird per Definition die passende Stammfunktion angegeben.
Nun wird behauptet, dass diese stetig ist. Die zusammensetzung von stetigen Funktionen ist stetig, also ist klar, dass die summe schon mal stetig ist und [mm] c_j(x-x_{j-1}) [/mm] ebenfalls. Die anährung an [mm] c_{j-1} [/mm] von links bedarf aber glaub ich noch einer untersichung. wie würde der nachweis der stetigkeit in diesem Punkt aussehen?
Da H'(x)= [mm] c_j [/mm] dies entspricht unseren gewählten Funktionen. Daraus lässt sich jetzt schließen, da dies für alle x aus dem offenen intervall [mm] (x_{j-1}, x_j) [/mm] für alle [mm] 1\le [/mm] j [mm] \le [/mm] m gilt, dass die Funktion fast überall differenzierbar ist und somit nach defintion der Stammfunktion H(fast überall diffbar + stetig) eine Stammfunktion von h ist.
teil2_bew_stammfkt
Nun ist [mm] H_n [/mm] wieder so gewählt, dass es eine Stammfunktion von [mm] h_n [/mm] für alle n ist. [mm] H_{n} [/mm] (a) geht gegen 0(bzw. ist null) also konvergiert [mm] H_{n} [/mm] (a) auch. Nun wissen wir, dass [mm] h_n [/mm] gleichmäßig konvergent ist, dass [mm] H_n [/mm] eine stammfunktion von [mm] h_n [/mm] ist und dass [mm] H_{n}(a) [/mm] konvergiert. Wir wissen somit dass auch [mm] H_n [/mm] glm. konvergiert und können obige schlussfolgerung mit F ist Stammfunktion von f stellen.
teil3_bew_stammfkt
Beim 2. teil ist das Intverall beliebig und ich bastle mir ein abgeschlossenes Teilintervall, welches als Defintionmenge meiner Stammfunktion [mm] F_{r,s} [/mm] von f eingeschränkt aufs neue Intervall dient. Weiters ist [mm] F_{r,s}(c) [/mm] = 0 (wie bei F(a) =0)
Nun defieire ich mir wiederum eine Funktion diesesmal vom beliebigen Intervall nach R. Die Funktion bildet auf den Funktionswert der vorher definierten Funktion [mm] F_{r,s} [/mm] an der Stelle x ab. (warum mach ich das gerade so?)
Nun will ich zeigen, dass F unabhängig von der Wahl von r,s ist. Was ich jetzt nicht ganz verstehe ist, warum ich die "neue" Funktion [mm] F_{r',s'} [/mm] wieder auf r,s einschränke,damit bin ich ja wieder nur im Bereich r,s oder?
Danach wird angemerkt, dass es sich um eine lokale eigenschaft bei F ist Stammfunktion von handelt. Liegt dies an der Einschränkung aufrund des Intervalles r,s?
DANKE und lg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Do 11.09.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
>
> Ich bin mir beim beweis für Stammfunktionen etwas
> unsicher, und möchte so teile hinterfragen, welche mir
> nicht ganz klar sind:
>
> Bem: zwecks skizze füge ich ausnahmsweise mal Bilder ein:
>
> teil1_bew_stammfkt
>
> Zu beginn verwende ich, dass es sich um eine
> Treppenfunktion handelt. Die Grenzen also [mm]x_j[/mm] bzw. x
> können frei gewählt werden, da sie ja für die
> Treppenfunktion ansich per definiton nicht relevant sind.
>
> Die Skizze bereitet mir Probleme. Mir ist nicht mehr klar,
> was eigentlich die rote Funktion darstellen soll.
>
> Danach wird per Definition die passende Stammfunktion
> angegeben.
>
> Nun wird behauptet, dass diese stetig ist. Die
> zusammensetzung von stetigen Funktionen ist stetig, also
> ist klar, dass die summe schon mal stetig ist und
> [mm]c_j(x-x_{j-1})[/mm] ebenfalls. Die anährung an [mm]c_{j-1}[/mm] von
> links bedarf aber glaub ich noch einer untersichung. wie
> würde der nachweis der stetigkeit in diesem Punkt
> aussehen?
>
> Da H'(x)= [mm]c_j[/mm] dies entspricht unseren gewählten
> Funktionen. Daraus lässt sich jetzt schließen, da dies
> für alle x aus dem offenen intervall [mm](x_{j-1}, x_j)[/mm] für
> alle [mm]1\le[/mm] j [mm]\le[/mm] m gilt, dass die Funktion fast überall
> differenzierbar ist und somit nach defintion der
> Stammfunktion H(fast überall diffbar + stetig) eine
> Stammfunktion von h ist.
>
> teil2_bew_stammfkt
>
> Nun ist [mm]H_n[/mm] wieder so gewählt, dass es eine Stammfunktion
> von [mm]h_n[/mm] für alle n ist. [mm]H_{n}[/mm] (a) geht gegen 0(bzw. ist
> null) also konvergiert [mm]H_{n}[/mm] (a) auch. Nun wissen wir, dass
> [mm]h_n[/mm] gleichmäßig konvergent ist, dass [mm]H_n[/mm] eine
> stammfunktion von [mm]h_n[/mm] ist und dass [mm]H_{n}(a)[/mm] konvergiert.
> Wir wissen somit dass auch [mm]H_n[/mm] glm. konvergiert und können
> obige schlussfolgerung mit F ist Stammfunktion von f
> stellen.
>
> teil3_bew_stammfkt
>
> Beim 2. teil ist das Intverall beliebig und ich bastle mir
> ein abgeschlossenes Teilintervall, welches als
> Defintionmenge meiner Stammfunktion [mm]F_{r,s}[/mm] von f
> eingeschränkt aufs neue Intervall dient. Weiters ist
> [mm]F_{r,s}(c)[/mm] = 0 (wie bei F(a) =0)
>
> Nun defieire ich mir wiederum eine Funktion diesesmal vom
> beliebigen Intervall nach R. Die Funktion bildet auf den
> Funktionswert der vorher definierten Funktion [mm]F_{r,s}[/mm] an
> der Stelle x ab. (warum mach ich das gerade so?)
>
> Nun will ich zeigen, dass F unabhängig von der Wahl von
> r,s ist. Was ich jetzt nicht ganz verstehe ist, warum ich
> die "neue" Funktion [mm]F_{r',s'}[/mm] wieder auf r,s
> einschränke,damit bin ich ja wieder nur im Bereich r,s
> oder?
>
> Danach wird angemerkt, dass es sich um eine lokale
> eigenschaft bei F ist Stammfunktion von handelt. Liegt dies
> an der Einschränkung aufrund des Intervalles r,s?
>
> DANKE und lg
>
Machen wirs kurz: in Deinem ersten Bild wird behauptet, dass jede Treppenfunktion eine Stammfunktion besitzt.
Das ist falsch !!
Beispiel:
h:[0,1] [mm] \to \IR [/mm] sei def. durch
h(0)=0 und h(x)=1 für x [mm] \in [/mm] (0,1].
Angenommen, h besitzt eine Stammfunktion H auf [0,1].
Dann ist H'(x)=h(x)=1 auf (0,1]. Also gibt es ein c [mm] \in \IR [/mm] mit
H(x)=x+c für alle x [mm] \in [/mm] (0,1].
Da H stetig ist, folgt mit x [mm] \to [/mm] 0: H(0)=c. Damit haben wir:
H(x)=x+c für alle x [mm] \in [/mm] [0,1].
Damit bekommen wir:
[mm] 0=h(0)=H'(0)=\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{H(x)-H(0)}{x}=\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x+c-c}{x}=1.
[/mm]
Widerspruch !
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 Do 11.09.2014 | | Autor: | nero08 |
hmm, der Beweis würde in der Vo genau so vorgeführt. Auch hier wird ein ähnlicher ansatz gewählt http://www2.math.uni-wuppertal.de/~fritzsch/lectures/ana/ana1_k4.pdf (Seite 138).
Wäre der Beweis durch kleine korrekturen in Orndung zu bringen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Do 11.09.2014 | | Autor: | fred97 |
> hmm, der Beweis würde in der Vo genau so vorgeführt. Auch
> hier wird ein ähnlicher ansatz gewählt
> http://www2.math.uni-wuppertal.de/~fritzsch/lectures/ana/ana1_k4.pdf
> (Seite 138).
>
> Wäre der Beweis durch kleine korrekturen in Orndung zu
> bringen?
Ich habs nachgelesen: in obigem Skript wird ein etwas "aufgeweichter" Begriff einer Stammfunktion verwendet:
Sei f: I [mm] \to \IC [/mm] eine Funktion. Dann heißt eine Funktion F: I [mm] \to \IC [/mm] eine Stammfunktion von f, wenn F stetig ist und wenn es eine höchstens abzählbare Teilmenge Q von I gibt mit
1. F ist auf I \ Q differenzierbar und 2. f'=f auf I \ Q.
Wenn man die "aufgeweichte" Version nimmt, so ist obiger Satz richtig.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Do 11.09.2014 | | Autor: | nero08 |
> > hmm, der Beweis würde in der Vo genau so vorgeführt. Auch
> > hier wird ein ähnlicher ansatz gewählt
> >
> http://www2.math.uni-wuppertal.de/~fritzsch/lectures/ana/ana1_k4.pdf
> > (Seite 138).
> >
> > Wäre der Beweis durch kleine korrekturen in Orndung zu
> > bringen?
>
> Ich habs nachgelesen: in obigem Skript wird ein etwas
> "aufgeweichter" Begriff einer Stammfunktion verwendet:
>
> Sei f: I [mm]\to \IC[/mm] eine Funktion. Dann heißt eine Funktion
> F: I [mm]\to \IC[/mm] eine Stammfunktion von f, wenn F stetig ist
> und wenn es eine höchstens abzählbare Teilmenge Q von I
> gibt mit
>
> 1. F ist auf I \ Q differenzierbar und 2. f'=f auf I \ Q.
>
> Wenn man die "aufgeweichte" Version nimmt, so ist obiger
> Satz richtig.
>
> FRED
>
Verstehe, aber dies wird auch bei uns verwendet denk ich:
[mm] http://www.uni-graz.at/~lettl/skripten/analy2_8-s14.pdf
[/mm]
defintion 8, also müsste es doch passen?
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Do 11.09.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > hmm, der Beweis würde in der Vo genau so vorgeführt. Auch
> > > hier wird ein ähnlicher ansatz gewählt
> > >
> >
> http://www2.math.uni-wuppertal.de/~fritzsch/lectures/ana/ana1_k4.pdf
> > > (Seite 138).
> > >
> > > Wäre der Beweis durch kleine korrekturen in Orndung zu
> > > bringen?
> >
> > Ich habs nachgelesen: in obigem Skript wird ein etwas
> > "aufgeweichter" Begriff einer Stammfunktion verwendet:
> >
> > Sei f: I [mm]\to \IC[/mm] eine Funktion. Dann heißt eine Funktion
> > F: I [mm]\to \IC[/mm] eine Stammfunktion von f, wenn F stetig ist
> > und wenn es eine höchstens abzählbare Teilmenge Q von I
> > gibt mit
> >
> > 1. F ist auf I \ Q differenzierbar und 2. f'=f auf I \ Q.
> >
> > Wenn man die "aufgeweichte" Version nimmt, so ist obiger
> > Satz richtig.
> >
> > FRED
> >
> Verstehe, aber dies wird auch bei uns verwendet denk ich:
>
> [mm]http://www.uni-graz.at/~lettl/skripten/analy2_8-s14.pdf[/mm]
>
> defintion 8, also müsste es doch passen?
Ja
FRED
>
> lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:55 Do 11.09.2014 | | Autor: | nero08 |
okay, danke !
wenn sich noch jemand zeit für die fragen nimmt wäre ich sehr dankbar :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:07 Fr 12.09.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> okay, danke !
>
> wenn sich noch jemand zeit für die fragen nimmt wäre ich
> sehr dankbar :)
Dann formuliere bitte eine (inhaltlich) neue Frage, deine Ausgangsfrage ist soweit beantwortet!
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:10 Fr 12.09.2014 | | Autor: | nero08 |
Also am Beginn meiner Frage steht:
Ich bin mir beim beweis für Stammfunktionen etwas unsicher, und möchte so teile hinterfragen, welche mir nicht ganz klar sind:
// Es folgt der Beweis mit den Fragen dazwischen, bzw. gehe ich den Beweis durch....
Es stellte sich für mich nie die Frage ob der Beweis richtig ist, sondern eher wieso manche Teile so bewiesen werden ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 Do 11.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo zusammen,
> > hmm, der Beweis würde in der Vo genau so vorgeführt. Auch
> > hier wird ein ähnlicher ansatz gewählt
> >
> http://www2.math.uni-wuppertal.de/~fritzsch/lectures/ana/ana1_k4.pdf
> > (Seite 138).
> >
> > Wäre der Beweis durch kleine korrekturen in Orndung zu
> > bringen?
>
> Ich habs nachgelesen: in obigem Skript wird ein etwas
> "aufgeweichter" Begriff einer Stammfunktion verwendet:
>
> Sei f: I [mm]\to \IC[/mm] eine Funktion. Dann heißt eine Funktion
> F: I [mm]\to \IC[/mm] eine Stammfunktion von f, wenn F stetig ist
> und wenn es eine höchstens abzählbare Teilmenge Q von I
> gibt mit
>
> 1. F ist auf I \ Q differenzierbar und 2. f'=f auf I \ Q.
genau. Nur, damit es nicht ganz untergeht:
Die nicht aufgeweichte Version des Begriffes Stammfunktion fordert, dass
[mm] $F'(x)\,$ [/mm] auf [mm] $I\,$ [/mm] existiert und dort durchweg [mm] $F'(x)=f(x)\,$ [/mm] gilt. Anders gesagt:
Oben wäre [mm] $Q=\varnothing$!
[/mm]
Das heißt insbesondere: Ist [mm] $F\,$ [/mm] eine Stammfunktion *unaufgeweichter Art*,
so ist [mm] $F\,$ [/mm] auch eine Stammfunktion der *aufgeweichten Art*. Umgekehrtes
ist aber i.a. falsch.
(Bei "Stammfunktion" meine ich natürlich "Stammfunktion von [mm] $f\,.$")
[/mm]
P.S. ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Stammfunktion
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:45 Fr 12.09.2014 | | Autor: | nero08 |
wenn sich noch jemand zeit für die fragen nimmt wäre ich sehr dankbar :)
EDIT: die Antwort hatte nichts mit der eigentlichen Frage zu tun ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 12:41 Fr 12.09.2014 | | Autor: | nero08 |
Um nochmals festzuhalten, was wir beim obigen Beweis unklar ist:
*) Wie kann ich Stetigkeit der Funktion H begründen?
*) Warum wähle ich 2.Fall die Funktion F: I [mm] \to [/mm] R mit x [mm] \mapsto F_{r,s} [/mm] (x) so?
*) Die Schlussfolgerung mit der lokalen Eigenschaft.
vl. ists so übersichtlicher ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 So 14.09.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Sa 13.09.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
