Existieren von Wendestellen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Ich kenne für den Wendepunkt neben den Vorzeichenwechsel als Bedingung f''(x) = 0 und [mm] f'''(x_{w}) \not=0.
[/mm]
Nun aber habe ich gehört, dass es auch über die erste und zweite Ableitung gilt.
Knackpunkt:
f''(x)=0
[mm] f'(x_{w})=0
[/mm]
Nun die Behauptung: Ist die erste Ableitung ungleich Null, dann handelt es sich auf jedenfall um eine Wendestelle!
Gibt es diese Betrachtung wirklich und haut sie immer hin?
Eine kleine weitere Frage: In den meisten Büchern, so habe ich es ebenfalls gehört, taucht diese Betrachtung gar nicht auf. Das muss doch einen Grund haben. Evtl. weiß hier ja jemand noch etwas zu.
Ausnahmen sind ja eindeutig, wenn man einen Sattelpunkt (Wendepunkt mit horizontaler Wendetangente).
Würde mich freuen, wenn mir jemand mal dazu etwas sagen könnte. Also für mich klingt diese Bedingungen plausibel (aber die Mathematik ist immer für ein Wunder gut).
Grüße Johann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Mi 16.11.2005 | | Autor: | sara_99 |
Das ist so nicht ganz richtig.
Wenn die erste Ableitung 0 ist und die zweite Ableitung ungleich 0, dann handelt es sich um ein Maximum/Minimum.
Also:
f'(x)=0
f''(x) [mm] \not=0
[/mm]
Wenn aber die zweite Ableitung gleich 0 ist und die dritte ungleich 0, dann ist es ein Wendepunkt.
f''(x)=0
f'''(x) [mm] \not=0
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
> Das ist so nicht ganz richtig.
> Wenn die erste Ableitung 0 ist und die zweite Ableitung
> ungleich 0, dann handelt es sich um ein Maximum/Minimum.
> Also:
> f'(x)=0
> f''(x) [mm]\not=0[/mm]
>
> Wenn aber die zweite Ableitung gleich 0 ist und die dritte
> ungleich 0, dann ist es ein Wendepunkt.
> f''(x)=0
> f'''(x) [mm]\not=0[/mm]
Diese Methode ist mir bekannt, und um die gehts doch hier überhaupt nicht.
Es geht doch hier einfach nur darum, dass anscheinend für die Wendestellen immer hinhaut (Ausnahme von Sattelpunkten), dass
f''(x)=0
[mm] f'(x_{w} \not=0
[/mm]
Durch probieren von einigen Funktionen kommt das sogar hin!
Dazu hätte ich gerne einige Meinungen. Da ich die noch nicht habe, setze ich die Frage mal wieder auf unbeantwortet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:35 Mi 16.11.2005 | | Autor: | sara_99 |
Dazu muss man sich einfach klar sein, was die erste Ableitung ist und was es bedeutet, wenn sie gleich 0 ist.
Und dann denk nochmal drüber nach, was eine Wendestelle ist.
Die Antwort ist wohl klar.
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Hallo Phoney.
>
> Diese Methode ist mir bekannt, und um die gehts doch hier
> überhaupt nicht.
> Es geht doch hier einfach nur darum, dass anscheinend für
> die Wendestellen immer hinhaut (Ausnahme von
> Sattelpunkten), dass
>
> f''(x)=0
> [mm]f'(x_{w} \not=0[/mm]
>
> Durch probieren von einigen Funktionen kommt das sogar
> hin!
klar, denn die Funktion hat natürlich beim Wendepunkt stets eine Steigung:
= 0 wenn ein Sattelpunkt vorliegt,
[mm] \ne [/mm] 0 wenn es eben kein Sattelpunkt ist.
Aber, nicht jede Funktion hat einen Wendepunkt, wenn [mm] f''(x_W)=0 [/mm] gilt!
Beispiel: f(x) = [mm] x^6 \Rightarrow [/mm] f''(0) = 0, ja sogar f'(0) = 0, und dennoch liegt kein Wendepunkt vor!
> Dazu hätte ich gerne einige Meinungen. Da ich die noch
> nicht habe, setze ich die Frage mal wieder auf
> unbeantwortet.
Du suchst offenbar nach einem anderen Kriterium, ohne die dritte Ableitung bilden zu müssen.
Hast du schon vom Vorzeichenwechsel-Kriterium gehört?
Notwendige Bedingung für eine Wendestelle ist, dass [mm] f''(x_W)=0 [/mm] gilt.
Hinreichend ist entweder, [mm] f'''(x_W) \ne [/mm] 0 oder wenn bei [mm] x_W [/mm] ein ![[]](/images/popup.gif) Vorzeichenwechsel bei der zweiten Ableitung vorliegt.
Das ist bei manchen Funktionen leichter zu ermitteln als die dritte Ableitung.
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo allemiteinander.
> klar, denn die Funktion hat natürlich beim Wendepunkt
> stets eine Steigung:
> = 0 wenn ein Sattelpunkt vorliegt,
> [mm]\ne[/mm] 0 wenn es eben kein Sattelpunkt ist.
> Aber, nicht jede Funktion hat einen Wendepunkt, wenn
> [mm]f''(x_W)=0[/mm] gilt!
> Beispiel: f(x) = [mm]x^6 \Rightarrow[/mm] f''(0) = 0, ja sogar
> f'(0) = 0, und dennoch liegt kein Wendepunkt vor!
Gibts nach dieser Methode doch auch nicht.
f'(0) = 0 ist und eben nicht größer oder kleiner Null.
Sollte Null herauskommen, so gilt das Verfahren nicht. DAs Verfahren ist also nicht für Sattelpunkte.
Bei [mm] x^6 [/mm] kommt man mit [mm] f'''(x_{w}) [/mm] auch nicht weiter...
D.h.
f''(x) = 0, angenommen bei einer Funktion bekommen wir x=5 heraus
in die erste Ableitung
[f'(5) [mm] \not= [/mm] 0]
f'(5) = 2 oder f'(5) = -1 => 100%ig ein Wendepunkt
Sonderfall
f'(5) = 0
Da hilft das Verfahren einem nicht weiter
Aber so lange wie gilt f'(5) = [mm] f'(x_{w})\not= [/mm] 0 gibt es einen Wendepunkt im reelen Bereich.
Ich glaube, ich habe es jetzt verständlicher rübergebracht, was ich will.
Warum sollte das Verfahren also nicht gehen?
Ich habe einige Funktionen mal gerechnet, bei denen stimmt das auf jedenfall.
Die Frage für mich stellt sich jetzt, um das ganze zu widerlegen, man braucht einen x-wert bei f''(x) = 0, der in f'''(x) ebenfalls null ergibt UND den Vorzeichenwechsel nicht vollzieht.
Kann mir denn jemand eine Funktionsgleichung nennen, die eben keine Wendestelle hat, aber die Kriterien f''(x) = 0 und [mm] f'(x_{w}) \not= [/mm] 0 gilt.
Es ist für mich eher logisch, dass das wahr ist, denn wir gucken mit der zweiten Ableitung ja: wo ist die Krümmung gleich Null. ISt die Krümmung gleich Null und hat eine Steigung, ist es ein wendepunkt. Nun also, wo werden diese Bedingungen gebrochen, dass die krümmung null ist, die steigung z.b. 1 und dennoch kein wendepunkt vorliegt.
Daher sehe ich diese Theorie eigentlich als "richtig" an. (Deswegen mache ich den ganzen Wirbel)
Grüße Johann
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Hallo Johann,
> Die Frage für mich stellt sich jetzt, um das ganze zu
> widerlegen, man braucht einen x-wert bei f''(x) = 0, der in
> f'''(x) ebenfalls null ergibt UND den Vorzeichenwechsel
> nicht vollzieht.
Bau dir diese Funktion selbst:
$f(x) = [mm] x^5 [/mm] + [mm] cx^3 [/mm] + [mm] dx^2 [/mm] + ex$
mit folgenden Eigenschaften:
$f'(1) = 5 + 3c +2d + e [mm] \ne [/mm] 0$
$f''(1) = 20 + 6c +2d = 0$
$f'''(1) = 60 + 6c = 0$
setze c = -10 und d = 20 und e [mm] \ne [/mm] 15
genügt dir dies?!
>
> Kann mir denn jemand eine Funktionsgleichung nennen, die
> eben keine Wendestelle hat, aber die Kriterien f''(x) = 0
> und [mm]f'(x_{w}) \not=[/mm] 0 gilt.
>
> Es ist für mich eher logisch, dass das wahr ist, denn wir
> gucken mit der zweiten Ableitung ja: wo ist die Krümmung
> gleich Null. ISt die Krümmung gleich Null und hat eine
> Steigung, ist es ein wendepunkt. Nun also, wo werden diese
> Bedingungen gebrochen, dass die krümmung null ist, die
> steigung z.b. 1 und dennoch kein wendepunkt vorliegt.
> Daher sehe ich diese Theorie eigentlich als "richtig" an.
> (Deswegen mache ich den ganzen Wirbel)
>
> Grüße Johann
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Johann,
> Hallo.
> Ich kenne für den Wendepunkt neben den Vorzeichenwechsel
> als Bedingung f''(x) = 0 und [mm]f'''(x_{w}) \not=0.[/mm]
>
> Nun aber habe ich gehört, dass es auch über die erste und
> zweite Ableitung gilt.
> Knackpunkt:
> f''(x)=0
> [mm]f'(x_{w})=0[/mm]
>
> Nun die Behauptung: Ist die erste Ableitung ungleich Null,
> dann handelt es sich auf jedenfall um eine Wendestelle!
Sieh dir mal die Funktion
[mm] f(x) = -\ \bruch{1}{4}\ x^4 + 3x [/mm]
an der Stelle 0 an.
Gruß
Sigrid
>
> Gibt es diese Betrachtung wirklich und haut sie immer hin?
>
> Eine kleine weitere Frage: In den meisten Büchern, so habe
> ich es ebenfalls gehört, taucht diese Betrachtung gar nicht
> auf. Das muss doch einen Grund haben. Evtl. weiß hier ja
> jemand noch etwas zu.
>
> Ausnahmen sind ja eindeutig, wenn man einen Sattelpunkt
> (Wendepunkt mit horizontaler Wendetangente).
>
>
> Würde mich freuen, wenn mir jemand mal dazu etwas sagen
> könnte. Also für mich klingt diese Bedingungen plausibel
> (aber die Mathematik ist immer für ein Wunder gut).
>
>
> Grüße Johann
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:41 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Danke an alle, die sich hier so intensivst Mühe gegeben haben. Die fertige Funktionsgleichung hat mich definitiv davon überzeugt, dass es falsch ist.
Wunderbar. Rechtherzlichen Dank dafür.
Grüße Johann
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