Existiert Lineare Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
wenn ich 2 Vektorräume gegeben habe und zeigen soll, dass eine lineare Abbildung mit bestimmten Eigenschaften existiert, was muss man dann genau zeigen?
Also z.B. V und W sind Vektorräume und die lineare Abbildung von der man die Existenz zeigen soll ist [mm]f: V \to W[/mm].
Dass wenn ich eine Funktion definiere, dass sie linear ist und dass sie für ganz V definiert ist?
(Hatte das ja letztes mal schon nicht hinbekommen und ist befürchte ich ein allgemeines Verständnisproblem, weil es ja wohl nicht so ist, dass wenn ich eine hinschreiben kann, dass diese dann auch tatsächlich existiert?)
Mfg,
Christoph
|
|
| |
|
Hallo,
kannst Du eine konkrete Aufgabenstellung angeben?
Hast Du Funktionswerte vorgegeben und sollst zeigen, daß eine Funktion lineare Funktion existiert, die diese Werte annimmt?
Falls ja: wenn Du Funktionswerte auf einer Basis gegeben hast, kann gar ncihts schiefgehen. Solch eine lineare Funktion existert und ist eindeutig bestimmt, das wurde in der Vorlesung gezeigt.
Kritisch wird's, wenn Funktionswerte auf einer linear abhängigen Menge vorgegeben sind.
Seien [mm] b_1, b_2 [/mm] linear unabhängig.
Wenn man hat [mm] f(b_1):=c_1, f(b_2):=c_2 [/mm] und [mm] f(2b_1+3b_3):=c_3, [/mm] dann muß man prüfen, ob
[mm] c_3=2f(b_1)+3f(b_3)=2c-1+3c_2 [/mm] ist.
Ansonsten. Funktion definieren und zeigen, daß sie wohldefiniert und linear ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Aufgabe 1 | | Es sei [mm](v_1,...,v_n)[/mm] eine Basis des K-Vektorraums V und [mm]w_1,...,w_n[/mm] seien Vektoren eines K-Vektorraumes W. Zeige: es gibt genau eine lineare Abbildung [mm]F: V \to W[/mm] mit [mm]f(v_i) = w_i, i = 1,...,n[/mm]. |
| Aufgabe 2 | | K sei Körper, und [mm]v_1,...,v_{n+1} \in K^n[/mm] seien irgendwelche Vektoren. Es sei [mm]m > 0[/mm]. Zeige: es gibt Vektoren [mm]w_i,...,w_{n+1} \in K^m[/mm], so dass es keine lineare Abbildung [mm]f: K^n \to K^m[/mm] gibt mit [mm]f(v_i) = w_i, i = 1,...,n+1[/mm]. |
So... ich habe das dann so gemacht:
[mm]v = \lambda_1v_1 + ... + \lambda_nv_n[/mm]
wegen [mm]F(v_i) = w_i[/mm] und der Linearität von F muss also
[mm]F(v) = \lambda_1w_1 + ... + \lambda_nw_n[/mm]
sein.
Linearität von F:
[mm]F(v + v') = F(\lambda_1v_1 + ... + \lambda_nv_n+\lambda_1'v_1+....+\lambda_n'v_n)[/mm]
[mm]= F((\lambda_1+\lambda_1')v_1+...+(\lambda_n+\lambda_n')v_n)[/mm]
[mm]=(\lambda_1+\lambda_1')w_1+...+(\lambda_n+\lambda_n')w_n[/mm]
[mm]=\lambda_1w_1+...+\lambda_nw_n+\lambda_1'w_1+...+\lambda_n'w_n[/mm]
[mm]=F(v)+F(v')[/mm]
und
[mm] F(\lambda v) = F(\lambda\lambda_1v_1+...+\lambda \lambda_n v_n) = \lambda\lambda_1w_1+...+\lambda \lambda_n w_n = \lambda F(V)[/mm]
Eindeutigkeit von F
Sei G auch eine lineare Abbildung für die gilt: [mm]G(v_i) = w_i[/mm]. Dann ist
[mm]F(v) = F(\sum_{k=1}^n \lambda_k v_k) = \sum_{k=1}^n \lambda_k F(v_k) = \sum_{k=1}^n \lambda_k G(v_k) = G(\sum_{k=1}^n \lambda_k v_k) = G(v) [/mm]
Existenz von F
Da wollte unser Tutor, dass wir auch etwas dazu schreiben.... aber kann doch nicht einfach sagen, weil es so ist?
Aus der Eindeutigkeit und Existenz folgt ja dann auch die Wohldefiniertheit?
Mfg,
Christoph
|
|
|
| |
|
> Es sei [mm](v_1,...,v_n)[/mm] eine Basis des K-Vektorraums V und
> [mm]w_1,...,w_n[/mm] seien Vektoren eines K-Vektorraumes W. Zeige:
> es gibt genau eine lineare Abbildung [mm]F: V \to W[/mm] mit [mm]f(v_i) = w_i, i = 1,...,n[/mm].
>
>
> So... ich habe das dann so gemacht:
>
> [mm]v = \lambda_1v_1 + ... + \lambda_nv_n[/mm]
> wegen [mm]F(v_i) = w_i[/mm]
> und der Linearität von F muss also
> [mm]F(v) = \lambda_1w_1 + ... + \lambda_nw_n[/mm]
> sein.
Hallo,
da stecken ganz richtige Gedanken drin, aber die Existenz hast Du noch nicht richtig gezeigt.
Paß mal auf.
Existenz:
Da [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] eine Basis von V ist, gibt es fürjedes [mm] v\in [/mm] V eindeutig bestimmte [mm] \lambda_i [/mm] mit [mm] v=\summe\lambda_iv_i.
[/mm]
Ich definiere nun eine Abbildung f: V [mm] \to [/mm] W durch
[mm] f(\summe\lambda_iv_i):=\summe\lambda_iw_i [/mm] für alle [mm] v=\lambda_iv_i \in [/mm] V.
(Wegen der Eindeutigkeit der Linearkombination ist die Abbildung wohldefiniert.)
Hiermit hast Du nun die Abbildung definiert, und jetzt zeigst Du, daß sie alles tut, was von ihr verlangt ist, also die Linearität (das hast Du ja schon gemacht), und daß wirklich [mm] f(v_i) [/mm] = [mm] w_i, [/mm] i = 1,...,n gilt.
>
>
> Linearität von F:
> [mm]F(v + v') = F(\lambda_1v_1 + ... + \lambda_nv_n+\lambda_1'v_1+....+\lambda_n'v_n)[/mm]
>
> [mm]= F((\lambda_1+\lambda_1')v_1+...+(\lambda_n+\lambda_n')v_n)[/mm]
>
> [mm]=(\lambda_1+\lambda_1')w_1+...+(\lambda_n+\lambda_n')w_n[/mm]
>
> [mm]=\lambda_1w_1+...+\lambda_nw_n+\lambda_1'w_1+...+\lambda_n'w_n[/mm]
> [mm]=F(v)+F(v')[/mm]
> und
> [mm]F(\lambda v) = F(\lambda\lambda_1v_1+...+\lambda \lambda_n v_n) = \lambda\lambda_1w_1+...+\lambda \lambda_n w_n = \lambda F(V)[/mm]
>
> Eindeutigkeit von F
> Sei G auch eine lineare Abbildung für die gilt: [mm]G(v_i) = w_i[/mm].
> Dann ist
> [mm]F(v) = F(\sum_{k=1}^n \lambda_k v_k) = \sum_{k=1}^n \lambda_k F(v_k) = \sum_{k=1}^n \lambda_k G(v_k) = G(\sum_{k=1}^n \lambda_k v_k) = G(v)[/mm],
Die beiden Abbildungen stimmen also auf allen Funktionswerten überein und sind somit gleich.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Existenz:
>
> Da [mm](v_1,...,v_n)[/mm] eine Basis von V ist, gibt es fürjedes
> [mm]v\in[/mm] V eindeutig bestimmte [mm]\lambda_i[/mm] mit
> [mm]v=\summe\lambda_iv_i.[/mm]
>
> Ich definiere nun eine Abbildung f: V [mm]\to[/mm] W durch
>
> [mm]f(\summe\lambda_iv_i):=\summe\lambda_iw_i[/mm] für alle
> [mm]v=\lambda_iv_i \in[/mm] V.
>
> (Wegen der Eindeutigkeit der Linearkombination ist die
> Abbildung wohldefiniert.)
>
Zur Aufgabe 2:
das heißt, die Aufgabe 2 zielt wohl darauf ab, dass [mm](v_1,...,v_{n+1})[/mm] bestenfalls ein Erzeugendensystem ist und somit die Eindeutigkeit nicht gegeben ist.
Wenn ich jedoch den Spezialfall [mm]m=n[/mm] annehme und [mm]v_k = w_k \forall k \in {1,...,n+1}[/mm]. Dann müsste das doch klappen eine lineare Funktion mit der geforderten Eigenschaft [mm]f(v_i) = w_i[/mm] oder sehe ich da etwas nicht?
(und zwar weil dann das überflüssige [mm]v_i[/mm] mit den gleichen [mm]\lambda[/mm]s wie [mm]w_i[/mm] aus den andern Vektoren linear kombiniert mit und somit das ganze eindeutig, also wohldefiniert ist?
EDIT: Achso... hatte anstelle von "Es gibt Vektoren [mm] \(w_1,...,w_{n+1}\)" [/mm] ausversehen gelesen "Für alle Vektoren [mm] \(w_1,...,w_{n+1}\)". [/mm] Glaube damit ist es mir dann klar :)
Mfg,
Christoph
|
|
|
| |
|
> Zur Aufgabe 2:
> das heißt, die Aufgabe 2 zielt wohl darauf ab, dass
> [mm](v_1,...,v_{n+1})[/mm] bestenfalls ein Erzeugendensystem ist
Hallo,
ja.
Hier weiß man, daß die n+1 Vektoren auf jeden Fall linear abhängig sind, weil die Dimension von [mm] K^n [/mm] ja =n ist.
Man kann sich nun den von [mm] (v_1,...,v_{n+1}) [/mm] erzeugten Raum anschauen, er hat höchstens die Dimension n.
Es sei [mm] n\ge [/mm] k:=dim < [mm] v_1,...,v_{n+1}> [/mm]
Dann findet man in [mm] (v_1,...,v_{n+1}) [/mm] k Vektoren, die eine Basis von < [mm] v_1,...,v_{n+1}> [/mm] bilden.
Der Einfachheit halber nehmen wir an, daß die ersten k Vektoren die Basis bilden.
Du hast ja in Aufgabe 1) gesehen, daß durch die Angabe der Werte auf einer Basis eine lineare Abbildung eindeutig bestimmt ist.
Mach nun folgendes: weise der Basis ihre Funktionswerte zu, und gib dann dem Vektor [mm] v_{k+1} [/mm] einen Funktionswert, der sich mit der Linearität nicht verträgt.
> und
> somit die Eindeutigkeit nicht gegeben ist.
>
> Wenn ich jedoch den Spezialfall [mm]m=n[/mm] annehme und [mm]v_k = w_k \forall k \in {1,...,n+1}[/mm].
> Dann müsste das doch klappen eine lineare Funktion mit der
> geforderten Eigenschaft [mm]f(v_i) = w_i[/mm] oder sehe ich da etwas
> nicht?
Du übersiehst etwas, s.o.
>
> (und zwar weil dann das überflüssige [mm]v_i[/mm] mit den gleichen
> [mm]\lambda[/mm]s wie [mm]w_i[/mm] aus den andern Vektoren linear kombiniert
> mit und somit das ganze eindeutig, also wohldefiniert ist?
Achso. Die wollen aber, daß Du zeigst, daß Du Funktionswerte so festlegen kannst, daß Du keine lineare Funktion findest, die's tut.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hi,
also nochmal ein kleines Beispiel für mich. Ich nehme hier mal an [mm]n = 2; m = 1[/mm].
[mm]v_1 := \vektor{1 \\ 0}[/mm]
[mm]v_2 := \vektor{0 \\ 1}[/mm]
[mm]v_3 := \vektor{1 \\ 1}[/mm]
Zudem soll gelten:
[mm]\lambda_1 * v_1 + \lambda_2 * v_2 = v_3[/mm].
Nun müsste ja wegen der Linearität von f gelten:
[mm]f(v_3) = f(\lambda_1 * v_1 + \lambda_2*v_2) = f(\lambda_1*v_1) + f(\lambda_2*v_2)[/mm]
Nun muss ich [mm]w_x, x \in \{1,...,n+1\}[/mm] so wählen, dass [mm]\lambda_1*w_1 + \lambda_2*w_2 \not= w_3[/mm].
z.B.
[mm]w_1 := 1[/mm]
[mm]w_2 := 2[/mm]
[mm]w_3 := 4[/mm].
So weit stimmt alles?
Nun für allgemein.
[mm]k = dim, k \le n[/mm], weil die Vektoren nur aus [mm]K^n[/mm] sind.
Also finde ich k Vektoren, die eine Basis von [mm][/mm] sind.
Durch Umindexierung kann ich diese auf die ersten k verschieben.
Nun muss gelten:
[mm]v_{k+1} = \summe_{i=0}^k \lambda_i * v_i[/mm].
Wegen der Linearität müsste deshalb wieder gelten:
[mm]w_{k+1} = f(v_{k+1}) = f(\summe_{i=0}^k \lambda_i * v_i) = \summe_{i=0}^n \lambda_i * f(v_i) = \summe_{i=0}^n \lambda_i * w_i[/mm].
Nun definiere ich [mm]w_{k+1} := (\summe_{i=0}^n \lambda_i * v_i) + 1 \not= (\summe_{i=0}^n \lambda_i * v_i)[/mm].
Das müsste dann ein passendes "Versager-[mm]w_{k+1}[/mm]" sein?
Mfg,
Christoph
|
|
|
| |
|
> Hi,
> also nochmal ein kleines Beispiel für mich. Ich nehme hier
> mal an [mm]n = 2; m = 1[/mm].
>
> [mm]v_1 := \vektor{1 \\ 0}[/mm]
> [mm]v_2 := \vektor{0 \\ 1}[/mm]
> [mm]v_3 := \vektor{1 \\ 1}[/mm]
>
> Zudem soll gelten:
> [mm]\lambda_1 * v_1 + \lambda_2 * v_2 = v_3[/mm].
>
> Nun müsste ja wegen der Linearität von f gelten:
> [mm]f(v_3) = f(\lambda_1 * v_1 + \lambda_2*v_2) = f(\lambda_1*v_1) + f(\lambda_2*v_2)[/mm]
>
> Nun muss ich [mm]w_x, x \in \{1,...,n+1\}[/mm] so wählen, dass
> [mm]\lambda_1*w_1 + \lambda_2*w_2 \not= w_3[/mm].
>
> z.B.
> [mm]w_1 := 1[/mm]
> [mm]w_2 := 2[/mm]
> [mm]w_3 := 4[/mm].
>
> So weit stimmt alles?
>
> Nun für allgemein.
>
> [mm]k = dim, k \le n[/mm], weil die Vektoren nur
> aus [mm]K^n[/mm] sind.
> Also finde ich k Vektoren, die eine Basis von
> [mm][/mm] sind.
>
> Durch Umindexierung kann ich diese auf die ersten k
> verschieben.
>
> Nun muss gelten:
> [mm]v_{k+1} = \summe_{i=0}^k \lambda_i * v_i[/mm].
>
> Wegen der Linearität müsste deshalb wieder gelten:
> [mm]w_{k+1} = f(v_{k+1}) = f(\summe_{i=0}^k \lambda_i * v_i) = \summe_{i=0}^n \lambda_i * f(v_i) = \summe_{i=0}^n \lambda_i * w_i[/mm].
Hallo,
bis hierher ist alles richtig bedacht.
>
> Nun definiere ich [mm] w_{k+1} [/mm] := [mm] (\summe_{i=0}^\red{k} \lambda_i [/mm] * [mm] v_i) [/mm] + 1
Das ist aber eine ganz schlechte Idee... Fällt Dir auf, weshalb?
> [mm] \not= (\summe_{i=0}^n \lambda_i [/mm] * [mm] v_i).
[/mm]
>
> Das müsste dann ein passendes "Versager-[mm]w_{k+1}[/mm]" sein?
Erstens gibt es da das angedeutete Problemchen.
Aber abgesehen davon, daß der zuaddierte Summand 1 nicht so toll ist, ist die Überlegung ganz richtig,
Du mußt nun aber noch passende [mm] w_i [/mm] angeben, die sicher existieren.
Nun, in der Voraussetzung ist gesagt, daß dimW>0 ist. Deshalb gibt es neben der Null, die in jedem VR enthalten ist, noch mindestens einen von Null verschiedenen Vektor w.
Sag nun, welchen der Elemente [mm] v_i [/mm] Du welchen dieser Vektoren zuweist, und zeige, daß eine Versager-Zuweisung dabei ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
