Existiert eine DGL zu f(x) < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Existiert eine homogene lineare DGL mit konstanten Koeffizenten welche die Funktion f(x) = [mm] x*e^x+2x^2*e^{2x} [/mm] als Lösung besitzt ? |
Hallo, habe immernoch Probleme mit diesem Aufgabentyp weil ich noch keine wirkliche Systematik zur Herangehensweise habe.
Habe mal die ersten 2 Ableitungen gebildet:
f'(x) = [mm] e^x+x*e^x+4x*e^{2x}+4x^2*e^{2x}
[/mm]
f''(x)= [mm] 2*e^x+x*e^x+4*e^{2x}+8x*e^{2x}+8x*e^{2x}+8x^2*e^{2x}
[/mm]
Ich sehe jetzt keine offensichtliche Lösung, bzw homogene DGL die mir das 0 setzt. ( vllt zu spät).
Viel mehr als an der konkreten Lösung bin ich an der prinzipiellen Herangehensweise und Überlegungen zu dieser Art der Aufgabenstellung interessiert.
Vielen Dank
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Hallo Traumfabrik,
es ist nicht so ganz einfach, da eine prinzipielle Herangehensweise zu finden, also sozusagen ein Kochrezept. Der Aufgabensteller will auch Deine mathematische Phantasie testen.
> Existiert eine homogene lineare DGL mit konstanten
> Koeffizenten welche die Funktion f(x) = [mm]x*e^x+2x^2*e^{2x}[/mm]
> als Lösung besitzt ?
> Hallo, habe immernoch Probleme mit diesem Aufgabentyp
> weil ich noch keine wirkliche Systematik zur
> Herangehensweise habe.
> Habe mal die ersten 2 Ableitungen gebildet:
>
> f'(x) = [mm]e^x+x*e^x+4x*e^{2x}+4x^2*e^{2x}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> f''(x)=
> [mm]2*e^x+x*e^x+4*e^{2x}+8x*e^{2x}+8x*e^{2x}+8x^2*e^{2x}[/mm]
>
> Ich sehe jetzt keine offensichtliche Lösung, bzw homogene
> DGL die mir das 0 setzt. ( vllt zu spät).
Na, es könnte ja auch sein, dass außer der zeitlich bedingten "Sehschwäche" entweder tatsähchlich keine Lösung existiert oder vielleicht nur eine, die bis zur fünften (oder 223ten) Ableitung geht.
> Viel mehr als an der konkreten Lösung bin ich an der
> prinzipiellen Herangehensweise und Überlegungen zu dieser
> Art der Aufgabenstellung interessiert.
Da hätte ich etwas für Dich.
Gesucht ist eine homogene lineare DGl.
Die sähe ja so aus: $Ay''+By'+Cy=0, sofern eben die zweite Ableitung reicht.
Da kannst du ja einfach Deine Ergebnisse einsetzen. Fasse dann alle Terme zusammen, die den gleichen Faktor [mm] x^i*e^{kx} [/mm] enthalten.
Wie viele Gleichungen für A,B,C ergibt das? Ist das ein lösbares System?
Grüße
reverend
PS: Man muss nicht alles "sehen". Es spart nur Zeit...
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Ich glaube prinzipiell zu verstehen wie es funktioniert ?!
Man leitet allgemein ab und schaut dann ob man ganze durch eine Linearkombination irgendwie = 0 bekommt.
Im speziellen Fall versteh ich es leider nicht wie ich es zusammenfassen soll, da z.B. in der 2. Ableitung ein Term mit dem Faktor a*e^(2x) vorkommt. Den habe ich weder in der 1. Ableitung noch in der Lösung selbst ?
Auch das ich [mm] x^i*e^{kx} [/mm] zusammenfassen soll versteh ich leider noch nicht richtig, da ich doch Summanden mit unterschiedlichen Exponenten durch einen konstanten Faktor ( hab ja lineare DGL) in einander überführen kann ?
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Hallo nochmal,
> Ich glaube prinzipiell zu verstehen wie es funktioniert ?!
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> Man leitet allgemein ab und schaut dann ob man ganze durch
> eine Linearkombination irgendwie = 0 bekommt.
Ja, das ist gut zusammengefasst.
> Im speziellen Fall versteh ich es leider nicht wie ich es
> zusammenfassen soll, da z.B. in der 2. Ableitung ein Term
> mit dem Faktor a*e^(2x) vorkommt. Den habe ich weder in der
> 1. Ableitung noch in der Lösung selbst ?
Gut beobachtet. Genau da liegt das Problem. Es kann also gar keine lineare homogene DGl. zweiten Grades geben. Du wirst also mindestens noch eine weitere Ableitung benötigen.
Das ist andererseits wahrscheinlich nicht die erwartete Lösung dieser Aufgabe, insofern kannst Du auch hier aufhören, musst aber genau aufschreiben, was genau hier warum nicht geht.
> Auch das ich [mm]x^i*e^{kx}[/mm] zusammenfassen soll versteh ich
> leider noch nicht richtig, da ich doch Summanden mit
> unterschiedlichen Exponenten durch einen konstanten Faktor
> ( hab ja lineare DGL) in einander überführen kann ?
Vielleicht hab ich gerade Tomaten auf den Augen, aber: wie soll das gehen? Gib mal ein Beispiel.
Grüße
reverend
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War mein Fehler
> Auch das ich zusammenfassen soll versteh ich
> leider noch nicht richtig, da ich doch Summanden mit
> unterschiedlichen Exponenten durch einen konstanten Faktor
> ( hab ja lineare DGL) in einander überführen kann ?
da fehlt ein nicht, deshalb hat mich ja das e^(kx) gewundert.
Müsste ich denn nicht statt der konkreten Ableitung , sei es die erste oder zweite oder auch dritte, die Struktur (wenn es denn eine gibt ) von n Ableitungen untersuchen und dann schauen ob ich es als Linearkombination zusammenbekomme ?
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Hallo,
> War mein Fehler
> > Auch das ich zusammenfassen soll versteh ich
> > leider noch nicht richtig, da ich doch Summanden mit
> > unterschiedlichen Exponenten durch einen konstanten Faktor
> > ( hab ja lineare DGL) in einander überführen kann ?
>
> da fehlt ein nicht, deshalb hat mich ja das e^(kx)
> gewundert.
Ach so. Dann kann ich Dir doch folgen. 
> Müsste ich denn nicht statt der konkreten Ableitung , sei
> es die erste oder zweite oder auch dritte, die Struktur
> (wenn es denn eine gibt ) von n Ableitungen untersuchen und
> dann schauen ob ich es als Linearkombination
> zusammenbekomme ?
Das klingt nach einem guten Ansatz. Auch wenn ichs nicht gerechnet habe, sieht es mir so aus, als würdest Du mit vier Ableitungen hinkommen. Aber das ist wirklich mehr so "aus dem Bauch heraus".
Mit einer systematischen Untersuchung kommst Du da natürlich verlässlicher zu einer Aussage und wohl auch weiter zu einer Lösung.
Grüße
reverend
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Ok. denke die Systematik erkennen ist sogar etwas übers Ziel hinausgeschossen.
Anderer Ansatz wurde hier schon genannt den ich verfolgt habe.
Ich weiss, anhang der Lösung das 1 eine doppelte Nullstelle ist und 2 eine dreifache.
wenn ich das jetzt jetzt in Faktoren ausklammere bekomme ich:
(a-1)*(a-1)*(a-2)*(a-2)*(a-2)
ausmultipliziert gibt das [mm] a^5-8a^4+25a^3-38a^2+28a-8
[/mm]
Die DGL sollte deshalb also lauten ( einsetzen um zu überprüfen ist von Hand etwas mühsam)
y'''''-8y''''+25y'''-38y''+28y'-8= 0
Diese Herangehensweise erscheint mir eher der Hintergedanke der Aufgabenstellung zu sein ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Do 22.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Ok. denke die Systematik erkennen ist sogar etwas übers
> Ziel hinausgeschossen.
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> Anderer Ansatz wurde hier schon genannt den ich verfolgt
> habe.
>
> Ich weiss, anhang der Lösung das 1 eine doppelte
> Nullstelle ist und 2 eine dreifache.
>
> wenn ich das jetzt jetzt in Faktoren ausklammere bekomme
> ich:
>
> (a-1)*(a-1)*(a-2)*(a-2)*(a-2)
>
> ausmultipliziert gibt das [mm]a^5-8a^4+25a^3-38a^2+28a-8[/mm]
>
> Die DGL sollte deshalb also lauten ( einsetzen um zu
> überprüfen ist von Hand etwas mühsam)
>
> y'''''-8y''''+25y'''-38y''+28y'-8= 0
>
> Diese Herangehensweise erscheint mir eher der Hintergedanke
> der Aufgabenstellung zu sein ?
Genau, siehe auch meine Antwort von heute morgen!
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:27 Do 22.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Traumfabrik,
> Existiert eine homogene lineare DGL mit konstanten
> Koeffizenten welche die Funktion f(x) = [mm]x*e^x+2x^2*e^{2x}[/mm]
> als Lösung besitzt ?
Das charakteristische Polynom der gesuchten DGL hat 1 als doppelte Nullstelle und 2 als dreifache Nullstelle.
Versuch's mal damit.
Gruß,
Wolfgang
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