Exp.Wachstum Funktionsgleichun < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Mi 05.12.2012 | | Autor: | TioZ |
| Aufgabe | Die Funktionsgleichung Gs(x)= S-S * e^-0,05*X beschreibt für verschiedene Werte des Parameters S mögliche Entwicklungen von Populationen nach dem Modell des beschränkten Wachstums; in dem Bild finden sich Graphen für verschiedene Werte für S mit S>0 und x>0.
Begründen sie für x>0 anhand des Funktionsterms den Einfluss des Parameters S auf
- den Schnittpunkt mit der y Achse und
- die Asymptote
Untersuchen Sie, ob der Wert 1/2 S für alle Funktionen Gs an der gleichen Stelle erreicht wird.
[Dateianhang nicht öffentlich] |
NAbend zusammen,
als ich bin mit der Aufgabe etwas überfordert.
Ich muss ja irgendwie versuchen Gs(0) zu berechnen und gucken ob das Ergebnis von S abhängt. Oder?
Wenn ja, wüsste ich schonmal hier nicht, wie ich Gs(0) berechne.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Mi 05.12.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ich denke, die Chose wird einfacher, wenn du ausnutzt
[mm] $G_s(x)= [/mm] s-s * [mm] e^{-0,05*x} [/mm] =s(1- [mm] e^{-0,05x})=sG_1(x)$.
[/mm]
Beantworte die Fragen fuer [mm] $G_1$ [/mm] und dann fuer [mm] $G_s$ [/mm] ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Do 06.12.2012 | | Autor: | TioZ |
Wie kommst du denn auf das sG1? Wie hast du das umgeformt?
Bin nicht der beste in Mathe, deswegen könntest du es etwas erläutern?
Und wenn ich sG1 ausrechnen soll was muss ich denn für x und S einsetzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Do 06.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Wie kommst du denn auf das sG1? Wie hast du das umgeformt?
> Bin nicht der beste in Mathe, deswegen könntest du es
> etwas erläutern?
Luis hat einfach nur s ausgeklammert.
Schnittpunkt mit y - Achse: [mm] G_s(0)=s-se^0=0
[/mm]
FRED
>
> Und wenn ich sG1 ausrechnen soll was muss ich denn für x
> und S einsetzen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Do 06.12.2012 | | Autor: | TioZ |
Gs(x)=S-S*e^-0,05x
Wenn ich S ausklammere, bekomme ich dann nicht sowas wie
[mm] Gs^2 [/mm] oder sGs ? Wieso denn sG1 ?
Und muss ich in der Formel sG1(0) = s (1-e^-0,05*0) für s dann einfach unterschiedliche Werte einsetzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Do 06.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Gs(x)=S-S*e^-0,05x
>
> Wenn ich S ausklammere, bekomme ich dann nicht sowas wie
>
> [mm]Gs^2[/mm] oder sGs ? Wieso denn sG1 ?
Es ist [mm] G_1(x)=1-e^{-0,05x}. [/mm] Also:
[mm] G_s(x)=s-se^{-0,05x}=s(1-e^{-0,05x})=sG_1(x)
[/mm]
>
> Und muss ich in der Formel sG1(0) = s (1-e^-0,05*0) für s
> dann einfach unterschiedliche Werte einsetzen?
Nochmal:
[mm] G_s(0)=sG_1(0)=s(1-e^{-0,05*0})=0, [/mm] weil [mm] e^0=1.
[/mm]
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:29 Do 06.12.2012 | | Autor: | TioZ |
Oh man tut mir leid.
Ich versteh es so nicht.:D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:35 Do 06.12.2012 | | Autor: | luis52 |
> Oh man tut mir leid.
> Ich versteh es so nicht.:D
Bitte, was verstehst du denn nicht?
Versuch doch erst mal die Fragen fuer [mm] $1-e^{-0.05x}$ [/mm] zu beantworten. Dann sehen wir weiter.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Do 06.12.2012 | | Autor: | TioZ |
S (1-e^-0,05x) = sG(x)
Ich weiß nicht was ich jetzt mit der formel machen muss.
Ich will ja wissen, ob der Parameter S Einfluss auf den Schnittpunkt mit der Y-Achse hat.
Was muss ich denn für S bzw. x einsetzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Do 06.12.2012 | | Autor: | TioZ |
S (1-e^-0,05x) = sG(x)
Ich weiß nicht was ich jetzt mit der formel machen muss.
Ich will ja wissen, ob der Parameter S Einfluss auf den Schnittpunkt mit der Y-Achse hat.
Was muss ich denn für S bzw. x einsetzen.
Mein Lehrer meinte, dass ist eine Aufgabe aus dem Abitur für den erhöhten Anforderungsniveau. Und ich bin nur im Grundkurs :D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 Do 06.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> S (1-e^-0,05x) = sG(x)
>
> Ich weiß nicht was ich jetzt mit der formel machen muss.
> Ich will ja wissen, ob der Parameter S Einfluss auf den
> Schnittpunkt mit der Y-Achse hat.
> Was muss ich denn für S bzw. x einsetzen.
Das hab ich Dir hier gerade eben mitgeteilt.
FRED
> Mein Lehrer meinte, dass ist eine Aufgabe aus dem Abitur
> für den erhöhten Anforderungsniveau. Und ich bin nur im
> Grundkurs :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Do 06.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> S (1-e^-0,05x) = sG(x)
>
> Ich weiß nicht was ich jetzt mit der formel machen muss.
> Ich will ja wissen, ob der Parameter S Einfluss auf den
> Schnittpunkt mit der Y-Achse hat.
Sag mal, wie oft denn noch:
$ [mm] G_s(0)=sG_1(0)=s(1-e^{-0,05\cdot{}0})=0, [/mm] $
Das bedeutet: s hat keinen Einfluss auf den Schnittpunkt mit der y-Achse
FRED
> Was muss ich denn für S bzw. x einsetzen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Do 06.12.2012 | | Autor: | TioZ |
Wie siehst du dennanhand der Funktion, dass S keinen Einfluss auf den Schnittpunkt mit der y-Achse hat?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Do 06.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Wie siehst du dennanhand der Funktion, dass S keinen
> Einfluss auf den Schnittpunkt mit der y-Achse hat?
Hummmpf, ...
Für jedes (!) s ist [mm] G_s(0)=0
[/mm]
Also ist der Schnittpunkt des Graphen von [mm] G_s [/mm] mit der y- Achse = (0|0)
Ist das nun völlig unabhängug von s oder nicht ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Do 06.12.2012 | | Autor: | TioZ |
Ok, Danke dafür.
Und wie bekomme ich heraus bzw wie sehe ich, ob S Einfluss auf die Asymptote hat?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Do 06.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ok, Danke dafür.
> Und wie bekomme ich heraus bzw wie sehe ich, ob S Einfluss
> auf die Asymptote hat?
Berechne
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}G_s(x)
[/mm]
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 17:16 Do 06.12.2012 | | Autor: | TioZ |
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] S - S / e^-0,05*x !?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Do 06.12.2012 | | Autor: | TioZ |
Wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}S-S [/mm] / e^-0,05*x geht der Term doch gegen 0 Weil der exponent immer kleiner wird, da er negativ ist. Richtig?
Nur woher weiß ich jetzt ob S EInfluss auf die Asymptote hat?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Do 06.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Wenn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}S-S[/mm] / e^-0,05*x geht der
> Term doch gegen 0 Weil der exponent immer kleiner wird, da
> er negativ ist. Richtig?
Rätselhaft ....
Es gilt: [mm] e^{-0,05x} \to [/mm] 0 für x [mm] \to \infty
[/mm]
Damit haben wir [mm] G_s(x) \to [/mm] s x [mm] \to \infty
[/mm]
FRED
> Nur woher weiß ich jetzt ob S EInfluss auf die Asymptote
> hat?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Do 06.12.2012 | | Autor: | TioZ |
hm.. ich dachte ich liege einmal richtig :D
ALso geht die Funktion gegen [mm] \infty [/mm]
Und was sagt uns das in Bezug auf den Einfluss von S aus?
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Hallo!
Du musst gegebene Antworten schon genau bzw. überhaupt lesen.
Fred hat Dir doch den Grenzwert deutlich hingeschrieben. Und daraus erkennt man auch sofort den Einfluss von $s_$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Do 06.12.2012 | | Autor: | TioZ |
Du erkennst den Einfluss von S vllt sofort. Aber wenn man nicht weiß woran man das erkennt, ist es was anderes.
Ich würde daraus schließen, dass S keinen Einfluss auf die Asymptote hat
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Do 06.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Du erkennst den Einfluss von S vllt sofort. Aber wenn man
> nicht weiß woran man das erkennt, ist es was anderes.
> Ich würde daraus schließen, dass S keinen Einfluss auf
> die Asymptote hat
Unsinn. die Asymptote von [mm] G_s [/mm] ist die Gerade mit der Gl. =s.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:25 Do 06.12.2012 | | Autor: | TioZ |
Ok das habe ich soweit jetzt alles verstanden.
Und um herauszufinden, ob der Wert 1/2 S für alle Funktionen Gs an der gleichen Stelle erreicht wird muss ich ja irgendwie den x-Wert berechnen, für den gilt Gs(x) = 1/2S oder!?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Do 06.12.2012 | | Autor: | TioZ |
Ok das habe ich soweit alles verstanden.
Und um herauszufinden, ob der Wert 1/2 S für alle Funktionen Gs an der gleichen Stelle erreicht wird muss ich ja irgendwie den x-Wert berechnen, für den gilt Gs(x) = 1/2S oder!?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Do 06.12.2012 | | Autor: | TioZ |
Könnte mir jemand bei dieser Frage noch helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Do 06.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
erst mal [mm] G_1(x)=1-e^{-0,5*x}
[/mm]
wenn x sehr groß wird wird [mm] e^{0,5x} [/mm] schnell seeehhr groß also [mm] 1/e^{0,5x}=e^{-0,5x} [/mm] sehr klein. man sagt für x gegen unendlich wird es 0
dann bleibt nur die 1 übrig also ist die Gerade y=1 assymptote.
Wenn man 0*s hat ist das auch 0 oder [mm] s*e^{-0,5x} [/mm] geht auch gegen 0
das heisst [mm] G_s(x)=s*(1-e^{-0,5*x})=s-s*e^{-0,5*x} [/mm] geht gegen s wenn x beliebig groß wird.
Wenn du sowas schlecht siehst, dann setze für s eine Zahl, z,B, 5 ein und für x große Zahlen etwa 100 oder 10000, dann siehst du welchem Wert sich [mm] G_5 [/mm] nähert.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Do 06.12.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
[mm] $G_s(x) [/mm] = 1/2s [mm] \iff s(1-e^{-0.05x})=s/2\iff1-e^{-0.05x}=1/2$
[/mm]
[mm] $\iff1/2=e^{-0.05x}\iff\ln(1/2)=-0.05x\iff13.86=20\ln(1/2)=x$.
[/mm]
vg Luis
P.S.: Boah! Was fuer ein Schlachtfeld! 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Do 06.12.2012 | | Autor: | TioZ |
Im Groben und ganzen verstehe ich deine Rechnung.
Nur an zwei Stellen nicht:
1-e^(-0,05x)= 1/2 -> 1/2 = e^(-0,05x)
Wo ist die 1 geblieben?
ln1/2= -0,05x -> 13,86 = 20 ln 1/2
Wie kommst du denn auf die 13,86 und auf die 20? :D
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Hallo TioZ,
> Im Groben und ganzen verstehe ich deine Rechnung.
> Nur an zwei Stellen nicht:
> 1-e^(-0,05x)= 1/2 -> 1/2 = e^(-0,05x)
> Wo ist die 1 geblieben?
Ganz normale Äquivalenzumformung der Gleichung. 1/2 nach links gebracht, den e-Term nach rechts.
Alles nur Addition und Subtraktion!
> ln1/2= -0,05x -> 13,86 = 20 ln 1/2 =x
>
> Wie kommst du denn auf die 13,86 und auf die 20? :D
Da ist allerdings ein kleiner Fehler passiert, das Ergebnis stimmt aber.
Wieder Äquivalenzumformung: da wird einfach nach x aufgelöst.
[mm] x=\bruch{1}{-0,05}*\ln{\bruch{1}{2}}=-20*(-\ln{2})=20*\ln{2}
[/mm]
Und wenn man das schließlich mal ausrechnet, kommt man eben auf ein Ergebnis... Ich würde es nicht so stark runden.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Do 06.12.2012 | | Autor: | TioZ |
Ok, jetzt versteht man die Rechnung;)
Aber was sagen mir jetzt diese 13,86 in Bezug zur Aufgabe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 Do 06.12.2012 | | Autor: | luis52 |
> Ok, jetzt versteht man die Rechnung;)
> Aber was sagen mir jetzt diese 13,86 in Bezug zur Aufgabe?
Der Aufgabenteil lautet
Untersuchen Sie, ob der Wert 1/2 S für alle Funktionen Gs an der gleichen Stelle erreicht wird.
Die Antwort lautet: Ja, der Wert wird fuer alle Funktione [mm] $G_s$ [/mm] an der gleichen Stelle angenommen, naemlich an der Stelle $x=13.8629$ (reverend zuliebe etwas genauer![[kuss]](/images/smileys/kuss.gif "[kuss]") ).
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo TioZ,
das ist jerzt der dritte Thread zur gleichen Frage. Muss das denn sein?
mache jetzt bittte hier in diesem Thread weiter, da hier schon eine Antwort gegeben wurde. ansonsten starte bitte wie schon gesagt pro Frage nur einen Thread. Bilder kann man übrigens auch im Nachhinein noch verwalten.
Gruß Diophant
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