Exp(x) < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Sa 03.03.2007 | | Autor: | AndyH |
| Aufgabe | | lim h->0 (exp(h)-1)/h =1 |
Sorry, habe gerade ein Brett vorm Hirn, aber wie komme ich auf diesen Grenzwert?
Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Sa 03.03.2007 | | Autor: | AndyH |
Ja, das hatte ich auch shcon überlegt, aber es muss einen anderen Weg geben. l'Hospital ist "methodisch" noch nicht bekannt.
Trotzdem danke.
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Hallo,
verwende die Exponentialreihe für [mm] e^x.
[/mm]
[mm] \bruch{e^x}{x}-\bruch{1}{x}=\bruch{1}{x}\summe_{i=0}^{\infty}... -\bruch{1}{x}=...
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Sa 03.03.2007 | | Autor: | AndyH |
Hmm, aber dann ist doch
[mm] 1/x*e^x [/mm] --> oo und 1/x --> oo
Insgesamt dann -> 0
Bin echt blind gerade.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:51 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andy!
Du musst hier die Exponentialreihe einsetzen, um Angela's Ansatz zu verfolgen:
[mm] $\exp(x) [/mm] \ := \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^k}{k!} [/mm] \ = \ [mm] 1+\bruch{x}{1!}+\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+...$
[/mm]
Allerdings halte ich diesen Ansatz nicht ganz logisch einwandfrei, da ich ja vermute, dass hier die Ableitung der [mm] $\exp$-Funktion [/mm] ermittelt werden soll.
Und die dargestellte Reihe basiert ja gerade auf den diversen Ableitung, so dass hier die Erklärung von "Apfelbaum" mit "ein Baum mit Äpfeln" vollzogen wird.
Gruß
Loddar
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> [mm]\exp(x) \ := \ \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^k}{k!} \ = \ 1+\bruch{x}{1!}+\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+...[/mm]
>
>
> Allerdings halte ich diesen Ansatz nicht ganz logisch
> einwandfrei, da ich ja vermute, dass hier die Ableitung der
> [mm]\exp[/mm]-Funktion ermittelt werden soll.
>
> Und die dargestellte Reihe basiert ja gerade auf den
> diversen Ableitung, so dass hier die Erklärung von
> "Apfelbaum" mit "ein Baum mit Äpfeln" vollzogen wird.
Hallo,
nicht unbedingt wird hier "rot" mit "rot" erklärt:
in meiner Vorlesung z.B. wurde die Exponentialfunktion als eben diese Reihe eingeführt - lange vor irgendwelchen Taylorreihen oder so. Auf die wolltest Du doch hinaus?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:10 Sa 03.03.2007 | | Autor: | AndyH |
Naja stimmt, es geht um den Diff.quot. der e-Funktion
lim h-->0 [mm] (e^{x+h}-e^x)/h
[/mm]
Mit der Funktionalgleichung der e-Funktion hat man
[mm] e^x [/mm] mal lim h --> 0 [mm] (e^h-1)/h
[/mm]
zZ bleibt lim = 1 damit d/dx [mm] e^x [/mm] = [mm] e^x
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:13 Sa 03.03.2007 | | Autor: | AndyH |
Danke Angela, aber trotzdem ist mir dein Ansatz nicht klar.
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Hallo,
diesen Ansatz zu verfolgen lohnt nur, wenn Ihr [mm] e^x [/mm] bzw. exp(x) als Reihe eingeführt habt, wenn also bekannt ist, daß
$ [mm] \exp(h) [/mm] \ := \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{h^k}{k!} [/mm] \ = \ [mm] 1+\bruch{h}{1!}+\bruch{h^2}{2!}+\bruch{h^3}{3!}+... [/mm] $.
Es ist doch [mm] \bruch{e^h-1}{h}= \bruch{1}{h}(e^h [/mm] - 1)
Nun setze für [mm] e^h [/mm] die Reihe ein und rechne soweit, wie Du kommst. (Das Ergebnis ist [mm] e^h.) [/mm] Dann den limes.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 So 04.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo,
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> Nun setze für [mm]e^h[/mm] die Reihe ein und rechne soweit, wie Du
> kommst. (Das Ergebnis ist [mm]e^h.)[/mm] Dann den limes.
>
> Gruß v. Angela
obenstehende Argumentation ist nur dann lückenlos, wenn Du die Stetigkeit von [mm] \exp [/mm] : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] in x= 0 vorher nachgewiesen hast.
Die punktweise Konvergenz der Reihe ist noch nicht hinreichend für [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} e^h [/mm] =1.
LG
Heiko
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