Explizite Form Fibonacci-Folge < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Sa 21.04.2012 | | Autor: | eerpel |
| Aufgabe | Gegeben sei:
[mm] \vektor{a_{n-1} \\ a_{n}} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^{n-2}\vektor{1 \\ 1} [/mm] mit [mm] a_{1}=1 [/mm] und [mm] a_{2}=1
[/mm]
Löse das Eigenwertproblem der Transformationsmatrix, um eine explizite Darstellungsform für [mm] a_{n} [/mm] zu bestimmen.
Berechne [mm] a_{100}. [/mm] |
Hallo!
Einmal vorweg: Ich bin bisher kaum in diesem Forum gewesen, und bitte daher auf etwas Anfängerschonung bezüglich etwaiger Regelverstöße.
Wie oben vermerkt haben wir in Festkörpermechanik eine Aufgabe zum Eigenwertproblem bekommen, dass ich auch ohne weiteres Lösen konnte. Ich habe sowohl Eigenwerte als auch Eigenvektoren für die Diagonalmatrix ermittelt. Mein einziges Problem besteht jetzt nur noch darin, das ganze so umzuformen, dass ich als Ergebnis wirklich eine Gleichung mit [mm] a_{n}=.... [/mm] präsentieren kann.
Im Prinzip haben wir fürs Potenzieren von Matrizen folgende Summenfolge gegeben bekommen:
[mm] A^{m}=\summe_{i=1}^{n}\lambda^{m}_{i}*x_{i} [/mm] wobei [mm] \lambda_{i} [/mm] die Eigenwerte und [mm] x_{i} [/mm] die entsprechenden Eigenvektoren sind.
Tja nun hab ich alles eingesetzt in die Summe und erhalte für [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^{n-2} [/mm] eine riesen Gleichung, in der nun die Eigenwerte statt der Matrix mit der Potenz versehen sind. Wie hilft mir das nun weiter um auf die entgültige Formel zu kommen?
Zur Kontrolle meine Ergebnisse:
[mm] \lambda_{1}=\bruch{1+\wurzel{5}}{2}
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=\bruch{1-\wurzel{5}}{2}
[/mm]
[mm] x_{1}=\vektor{1+\wurzel{5} \\ 2}
[/mm]
[mm] x_{2}=\vektor{-1-\wurzel{5} \\ 2}
[/mm]
Vielen Dank für euer Bemühen
PS:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben sei:
> [mm]\vektor{a_{n-1} \\
a_{n}}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\
1 & 1 }^{n-2}\vektor{1 \\
1}[/mm]
> mit [mm]a_{1}=1[/mm] und [mm]a_{2}=1[/mm]
>
> Löse das Eigenwertproblem der Transformationsmatrix, um
> eine explizite Darstellungsform für [mm]a_{n}[/mm] zu bestimmen.
> Berechne [mm]a_{100}.[/mm]
> Zur Kontrolle meine Ergebnisse:
> [mm]\lambda_{1}=\bruch{1+\wurzel{5}}{2}[/mm]
> [mm]\lambda_{2}=\bruch{1-\wurzel{5}}{2}[/mm]
>
> [mm]x_{1}=\vektor{1+\wurzel{5} \\
2}[/mm]
>
> [mm]x_{2}=\vektor{-1-\wurzel{5} \\
2}[/mm]
Hallo,
die Eigenwerte stimmen, jedoch kommt es mir vor, als häätest Du Dich bei den Eigenvektoren vertan:
[mm] \green{EDIT}
[/mm]
meiner neuen Rechnung nach ist
[mm] v_1=$\vektor{-1+\wurzel{5} \\ 2}$ [/mm] ein EV zu [mm] $\lambda_{1}=\bruch{1+\wurzel{5}}{2}$
[/mm]
und
[mm] v_2=$\vektor{-1-\wurzel{5} \\ 2}$ [/mm] ein EV zu [mm] $\lambda_{2}=\bruch{1-\wurzel{5}}{2}$.
[/mm]
Rechne es nochmal nach.
Auf jeden Fall: wenn die [mm] v_i [/mm] die korrekten EVen zu den [mm] \lambda_i [/mm] sind, dann gilt
[mm] \pmat{\bruch{1+\wurzel{5}}{2}&0\\0&\bruch{1-\wurzel{5}}{2}}=\pmat{v_1&v_2}^{-1}$\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }$\pmat{v_1&v_2}
[/mm]
bzw.
[mm] $\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }$=\pmat{v_1&v_2}$\pmat{\bruch{1+\wurzel{5}}{2}&0\\0&\bruch{1-\wurzel{5}}{2}}$\pmat{v_1&v_2}^{-1}.
[/mm]
Damit bekommst Du
[mm] $\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^m$=\pmat{v_1&v_2}$\pmat{\bruch{1+\wurzel{5}}{2}&0\\0&\bruch{1-\wurzel{5}}{2}}^m$\pmat{v_1&v_2}^{-1}.
[/mm]
Ich hoffe, daß ich Dein Problem richtig verstanden habe und etwas zur Lösung beitragen konnte.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 So 22.04.2012 | | Autor: | eerpel |
Genau das was du da aufgeschrieben hast hab ich alles hingekriegt, nur würde ich gerne wissen, wie mich das ganze nun zur Bestimmung einer expliziten Bildungsforschrift für [mm] a_{n} [/mm] führt.
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> Genau das was du da aufgeschrieben hast hab ich alles
> hingekriegt, nur würde ich gerne wissen, wie mich das
> ganze nun zur Bestimmung einer expliziten
> Bildungsforschrift für [mm]a_{n}[/mm] führt.
Hallo,
gerade bin ich etwas ratlos...
Es ist doch nach Voraussetzung
$ [mm] \vektor{a_{n-1} \\ a_{n}} [/mm] $ = $ [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^{n-2}\vektor{1 \\ 1} [/mm] $,
also
$ [mm] \vektor{a_{n-1} \\ a_{n}} [/mm] $ = $ [mm] [\pmat{v_1&v_2}$\pmat{\bruch{1+\wurzel{5}}{2}&0\\0&\bruch{1-\wurzel{5}}{2}}^{n-2}$\pmat{v_1&v_2}^{-1}]\vektor{1 \\ 1} [/mm] $.
Du mußt doch jetzt nur (wenn Du die Matrix [mm] (v_1\quad v_2) [/mm] und ihre Inverse richtig hast,) multiplizieren.
Es sind doch bis auf die Hochzahlen (n-2) ganz normale Zahlen, oder übersehe ich etwas?
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 So 22.04.2012 | | Autor: | eerpel |
Und wie multipliziere ich ne Matrix mit Potenz? Ich versteh nicht, wie mich die Gleichung zu nem alleinstehenden [mm] a_{n} [/mm] führen soll, kriege ich das denn überhaupt aus dem Vektor [mm] \vektor{a_{n-1} \\ a_{n}} [/mm] heraus?
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> Und wie multipliziere ich ne Matrix mit Potenz? Ich versteh
> nicht, wie mich die Gleichung zu nem alleinstehenden [mm]a_{n}[/mm]
> führen soll, kriege ich das denn überhaupt aus dem Vektor
> [mm]\vektor{a_{n-1} \\
a_{n}}[/mm] heraus?
Hallo,
ich sag' doch, Du sollst $ [mm] [\pmat{v_1&v_2} [/mm] $$ [mm] \pmat{\bruch{1+\wurzel{5}}{2}&0\\0&\bruch{1-\wurzel{5}}{2}}^{n-2} [/mm] $ $ [mm] \pmat{v_1&v_2}^{-1}]\vektor{1 \\ 1} [/mm] $ ausrechnen. Das sollte einen Vektor mit zwei Einträgen geben, und der zweite Eintrag ist [mm] a_n.
[/mm]
Die Matrix zu potenzieren ist doch leicht: das ist doch eine Diagonalmatrix.
Solange Du nichts Konkretes vorrechnest (find' ich attraktiver, als daß ich mit den Wurzeln rumwurschtele...), wird mir nicht klar werden können, wo das genaue Problem liegt.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 So 22.04.2012 | | Autor: | eerpel |
Bist du dir wirklich sicher mit deinen Eigenvektoren? Ich kriege nach 5maligen Rechnen immernoch folgende Vektoren:
für [mm] \lambda_{1}=\bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] den Eigenvektor [mm] v_{1}=\vektor{-1+\wurzel{5} \\ 2}
[/mm]
für [mm] \lambda_{2}=\bruch{1-\wurzel{5}}{2} [/mm] den Eigenvektor [mm] v_{2}=\vektor{-1-\wurzel{5} \\ 2}
[/mm]
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> Bist du dir wirklich sicher mit deinen Eigenvektoren?
Hallo,
natürlich nicht!
> Ich
> kriege nach 5maligen Rechnen immernoch folgende Vektoren:
>
> für [mm]\lambda_{1}=\bruch{1+\wurzel{5}}{2}[/mm] den Eigenvektor
> [mm]v_{1}=\vektor{-1+\wurzel{5} \\
2}[/mm]
Ja, der ist jetzt richtig (und anders als im Eingangspost),
> für
> [mm]\lambda_{2}=\bruch{1-\wurzel{5}}{2}[/mm] den Eigenvektor
> [mm]v_{2}=\vektor{-1-\wurzel{5} \\
2}[/mm]
und der ist auch richtig und war es zuvor auch.
(Hab' gerade gesehen, daß ich in meiner ersten Antwort die Eigenvektoren leider falsch hatte.)
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:31 Mo 23.04.2012 | | Autor: | eerpel |
Habs jetzt ganz anders hingekriegt, diese Matrixmultiplikation war viel zu kompliziert. Falls es dich interessiert, es ergibt sich folgende Bildungsvorschrift:
[mm] a_{n}=(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-2}*\bruch{5+3\wurzel{5}}{10}+(\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n-2}*\bruch{5-3\wurzel{5}}{10}
[/mm]
Trotzdem vielen Dank
LG Andreas
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