Explizites Euler Verf. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 So 01.02.2015 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Berechnen Sie mit dem expliziten Euler-Verfahren 2 Schritte mit der Schrittweite 1 und 4 Schritte mit der Schrittweite [mm] \bruch{1}{2}. [/mm] Beurtilen Sie, ob die Schrittweite von 1 ausreichend ist, um eine Genauigkeit von einer Nachkommastelle bei t = 2 zu erreichen, ohne die exakte Lösung zu bestimmen.
Die zu betrachtende DGL lautet:
[mm] \dot{x} [/mm] = [mm] \bruch{x}{x + 1} [/mm] + t , x(0) = 9 |
Hi zusammen,
einer Aufgabe im Euler-Verfahren habe ich noch nie gemacht und deswegen habe ich eine Menge Fragen.
Wenn ich das richtig verstanden habe muss ich zunächst die inhomogene DGL "normal" berechen. Also erst die homgene und dann den inhomgenen Teil.
Ist der homgene Teil hier [mm] \bruch{x}{x + 1} [/mm] und der inhomogene t ?
Dann muss ich das Euler-Verfahren anwenden und dann die Ergebnisse miteinander vergleichen und dann sehe ich den Fehler des Euler-Verfahren, oder ?
Jetzt das was ich zum expliziten Euler-Verfahren weiß:
[mm] y_{n+1} [/mm] = [mm] y_{n} [/mm] + h * [mm] f(t_{n} [/mm] , [mm] y_{n})
[/mm]
h = [mm] \bruch{1}{N} [/mm] N = Anzahl der Schritte
Das ist leider schon alles was ich weiß.
Ich habe nach Beispielaufgaben im Netz gesucht, bin aber nicht wirklich fündig geworden. Wenn ich welche gefunden habe war sie nur sehr knapp niedergeschrieben. Meist nur Ergebnisse ohne die eigentlichen Rechnungen.
Kann mir jemand anhand meiner Aufgabe mal zeigen was bei solch einer Aufgabe zu machen ist ?
Danke für die Hilfe im voraus
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Hallo Bindl
> Berechnen Sie mit dem expliziten Euler-Verfahren 2 Schritte
> mit der Schrittweite 1 und 4 Schritte mit der Schrittweite
> [mm]\bruch{1}{2}.[/mm] Beurtilen Sie, ob die Schrittweite von 1
> ausreichend ist, um eine Genauigkeit von einer
> Nachkommastelle bei t = 2 zu erreichen, ohne die exakte
> Lösung zu bestimmen.
> Die zu betrachtende DGL lautet:
>
> [mm]\dot{x}[/mm] = [mm]\bruch{x}{x + 1}[/mm] + t , x(0) = 9
> Hi zusammen,
>
> einer Aufgabe im Euler-Verfahren habe ich noch nie gemacht
> und deswegen habe ich eine Menge Fragen.
>
> Wenn ich das richtig verstanden habe muss ich zunächst die
> inhomogene DGL "normal" berechen. Also erst die homgene und
> dann den inhomgenen Teil.
Ich vermute, dass du die Aufgabe doch nicht richtig verstanden
hast. Die DGL soll gar nicht "exakt" gelöst, sondern nur mit dem
Eulerverfahren mit 2 unterschiedlichen Schrittweiten untersucht
werden.
Durch Vergleich der Ergebnisse kann man dann (grob)
abschätzen, ob allenfalls schon die große Schrittweite
für die verlangte Toleranz ausreichend sein könnte.
> Ist der homgene Teil hier [mm]\bruch{x}{x + 1}[/mm] und der
> inhomogene t ?
>
> Dann muss ich das Euler-Verfahren anwenden und dann die
> Ergebnisse miteinander vergleichen und dann sehe ich den
> Fehler des Euler-Verfahren, oder ?
>
> Jetzt das was ich zum expliziten Euler-Verfahren weiß:
>
> [mm]y_{n+1}[/mm] = [mm]y_{n}[/mm] + h * [mm]f(t_{n}[/mm] , [mm]y_{n})[/mm]
>
> h = [mm]\bruch{1}{N}[/mm] N = Anzahl der Schritte
>
> Das ist leider schon alles was ich weiß.
> Ich habe nach Beispielaufgaben im Netz gesucht, bin aber
> nicht wirklich fündig geworden. Wenn ich welche gefunden
> habe war sie nur sehr knapp niedergeschrieben. Meist nur
> Ergebnisse ohne die eigentlichen Rechnungen.
>
> Kann mir jemand anhand meiner Aufgabe mal zeigen was bei
> solch einer Aufgabe zu machen ist ?
Eigentlich ist es recht simpel. Nehmen wir einmal den Fall
mit Schrittweite h=0.5 und berechnen den ersten Schritt:
Für den Startwert t=0 haben wir den vorgegebenen Funktions-
wert x(0)=9 . Das setzen wir in die Formel für die Ableitung
ein:
[mm] $\dot{x}(0)\ [/mm] =\ [mm] \bruch{x(0)}{x(0)\, +\, 1}\,+\, [/mm] 0 \ =\ [mm] \bruch{9}{10} [/mm] \ =\ 0.9$
Nun wird für das Intervall $\ [mm] 0\le t\le [/mm] 0.5 $ die eigentliche
Kurve durch die Tangente im Startpunkt ersetzt. Das ist
also die Gerade mit der Gleichung x(t)=9+0.9*t . Der
Endpunkt der ersten Approximationsstrecke liegt also
bei t=0.5 und $\ x(0.5)= 9+0.9*0.5=9.45$
Ausgehend von diesem neuen Punkt setzt man nun den
Streckenzug fort durch die zweite Teilstrecke, die von
dem Punkt (0.5 | 9.45) ausgeht und die Steigung
$\ m\ =\ [mm] \bruch{9.45}{9.45\, +\, 1}\,+\, [/mm] 0.5 \ [mm] \approx\ [/mm] 1.4043$
hat. Der Endpunkt dieser zweiten Teilstrecke ist dann
bei [mm] \approx(1.0 [/mm] | 10.152) . Zwei weitere derartige Schritte
führen dann zu einem ersten Näherungswert für den
gesuchten Funktionswert an der Stelle t=2 .
Die notwendigen Rechnungen führt man natürlich
am besten auf einem Rechenblatt (Tabellenkalkulation)
durch.
Mach dann dasselbe nochmals, aber in nur 2 Schritten
der Länge 1.
Vergleiche dann die Ergebnisse, und du kannst wohl
erkennen, ob das Verfahren mit der großen Schrittweite
schon genau genug sein kann.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 So 01.02.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
danke für die klasse Erklärung. Ich denke ich habe es verstanden. Hier mal meine Ergebnisse:
Zunächst sollte ich noch sagen das man auf 2 Nachkommastellen runden sollte.
Also ich starte mal mit h = 1:
1) Startpunkt 1: (0 ; 9) Intervall: 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1
[mm] \dot{x}(0) [/mm] = 0,9
x(1) = 9 + 0,9 * 1 = 9,9
2) Startpunkt 2: (1 ; 9,9) Intervall: 1 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 2
[mm] \dot{x}(1) [/mm] = 1,91
x(2) = 9,9 + 1,91 * 2 = 13,72
Jetzt mit h = 0,5:
1) Startpunkt 1: (0 ; 9) Intervall: 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 0,5
[mm] \dot{x}(0) [/mm] = 0,9
x(0,5) = 9 + 0,9 * 0,5 = 9,45
2) Startpunkt 2: (0,5 ; 9,45) Intervall: 0,5 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1
[mm] \dot{x}(0,5) [/mm] = 1,40
x(1) = 9,45 + 1,4 * 1 = 10,5
3) Startpunkt 3: (1 ; 10,85) Intervall : 1 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1,5
[mm] \dot{x}(1) [/mm] = 1,92
x(1,5) = 10,85 + 1,92 * 1,5 = 13,73
4) Startpunkt 4: (1,5 ; 13,73) Intervall: 1,5 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 2
[mm] \dot{x}(1,5) [/mm] = 2,43
x(2) = 13,73 + 2,43 * 2 = 18,59
So nun zur Beurteilung:
Bei der Schrittweite [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist man natürlich genauer, da man die Steigung der eigentlichen Kurve öfter anpasst als bei der Schrittweite 1.
Der Unterschied von 18,59 - 13,72 = 4,87 ist zu groß als das man sagen könnte das die 2 Schritte mit der Schrittweite ausreichen. Schließlich ist der Unterschied fast bei 30 %.
Ist das eine gute Beurteilung ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 Mo 02.02.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
h ist doch ein fester Wert also bei dir 1 bzw 1/2
ich dachte, nach der guten Erklärung hast du das verstanden?
also sind alle seine Rechnungen ausser der ersten falsch, da du beim 3 ten schritt h verdoppelst usw
Gruß leduart
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Hallo Bindl
> danke für die klasse Erklärung.
Gern geschehen.
> Hier mal meine Ergebnisse:
> Zunächst sollte ich noch sagen das man auf 2
> Nachkommastellen runden sollte.
>
> Also ich starte mal mit h = 1:
> 1) Startpunkt 1: (0 ; 9) Intervall: 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm]
> 1
> [mm]\dot{x}(0)[/mm] = 0,9
> x(1) = 9 + 0,9 * 1 = 9,9
>
> 2) Startpunkt 2: (1 ; 9,9) Intervall: 1 [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm] 2
> [mm]\dot{x}(1)[/mm] = 1,91
> x(2) = 9,9 + 1,91 * 2 = 13,72
>
>
> Jetzt mit h = 0,5:
> 1) Startpunkt 1: (0 ; 9) Intervall: 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm] 0,5
> [mm]\dot{x}(0)[/mm] = 0,9
> x(0,5) = 9 + 0,9 * 0,5 = 9,45
>
> 2) Startpunkt 2: (0,5 ; 9,45) Intervall: 0,5 [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm]
> 1
> [mm]\dot{x}(0,5)[/mm] = 1,40
> x(1) = 9,45 + 1,4 * 1 = 10,5
>
> 3) Startpunkt 3: (1 ; 10,85) Intervall : 1 [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm]
> 1,5
> [mm]\dot{x}(1)[/mm] = 1,92
> x(1,5) = 10,85 + 1,92 * 1,5 = 13,73
>
> 4) Startpunkt 4: (1,5 ; 13,73) Intervall: 1,5 [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm]
> 2
> [mm]\dot{x}(1,5)[/mm] = 2,43
> x(2) = 13,73 + 2,43 * 2 = 18,59
Ich bin auf ziemlich andere Resultate gekommen. Hier
kurz meine beiden Rechentabellen:
h=1.0 :
t x
0 9
1 9.9
2 11.81
h=0.5 :
t x
0.0 9
0.5 9.45
1.0 10.15
1.5 11.11
2.0 12.32
> So nun zur Beurteilung:
> Bei der Schrittweite [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ist man natürlich
> genauer, da man die Steigung der eigentlichen Kurve öfter
> anpasst als bei der Schrittweite 1.
> Der Unterschied von 18,59 - 13,72 = 4,87 ist zu groß als
> das man sagen könnte das die 2 Schritte mit der
> Schrittweite ausreichen. Schließlich ist der Unterschied
> fast bei 30 %.
>
> Ist das eine gute Beurteilung ?
Die Beurteilung ist inhaltlich richtig. Nur sind die
numerischen Abweichungen in Wirklichkeit nicht
gerade sooo krass - aber auch die Diskrepanz
meiner beiden Schlussergebnisse (11.81 vs. 12.32)
ist noch viel zu groß, um sich schon mit der Schritt-
weite h=1.0 zu begnügen. Weitere Rechnung zeigt,
dass auch h=0.5 noch längst nicht klein genug für
die verlangte Genauigkeit ist. Ich würde z.B. h=0.1
vorschlagen, was dann für eine schrittweise Berechnung
"von Hand, mit TR" ziemlich aufwändig würde.
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:19 Mo 02.02.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
ich habe folgenden Hinweis scheinbar falsch verstanden:
"Nun wird für das Intervall 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 0,5 die eigentliche Kurve durch die Tangente im Startpunkt ersetzt. Das ist also die Gerade mit der Gleichung x(t)=9+0.9*t . Der Endpunkt der ersten Approximationsstrecke liegt also
bei t=0.5 und $ \ x(0.5)= [mm] 9+0.9\cdot{}0.5=9.45 [/mm] $"
Ich bin davon ausgegangen das mit t in der Geradengleichen das Ende des Intervalls gemeint ist.
Kann ich davon ausgehen das es eigentlich x(t) = 9 + 0,9 * h heißen müsste ?
Dann komme ich auch auf deine Werte.
Also müsste ich bei h=1 beim zweiten Schritt x(2) = 9,9 + 1,91 * 1 schreiben und natürlich auch rechnen ?
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> Hi,
>
> ich habe folgenden Hinweis scheinbar falsch verstanden:
>
> "Nun wird für das Intervall 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm] 0,5 die
> eigentliche Kurve durch die Tangente im Startpunkt ersetzt.
> Das ist also die Gerade mit der Gleichung x(t)=9+0.9*t .
> Der Endpunkt der ersten Approximationsstrecke liegt also
> bei t=0.5 und [mm]\ x(0.5)= 9+0.9\cdot{}0.5=9.45 [/mm]"
>
> Ich bin davon ausgegangen das mit t in der Geradengleichen
> das Ende des Intervalls gemeint ist.
> Kann ich davon ausgehen das es eigentlich x(t) = 9 + 0,9 *
> h heißen müsste ?
Mit dem t habe ich eine Variable gemeint, die jeweils
über das Teilintervall hinweg läuft. Am Ende des
ersten Teilintervalls wäre dann natürlich t = h .
> Dann komme ich auch auf deine Werte.
> Also müsste ich bei h=1 beim zweiten Schritt x(2) = 9,9 +
> 1,91 * 1 schreiben und natürlich auch rechnen ?
Aha.
Die Bezeichnungsweisen, die ich verwendet habe, sind
abgesehen davon ziemlich "salopp". Man sollte ja x(t)
nicht gleichzeitig für die "wahre" (aber unbekannte) exakte
Lösung der DGL und dann daneben auch noch für zwei
unterschiedliche Euler-Approximationen (mit verschiedenen
Schrittweiten) verwenden.
Die Notationen sollte man sich also für eine saubere
Ausarbeitung besser zurechtlegen.
Übrigens hat mich noch interessiert, wie die DGL
wohl formal zu lösen sei. Mathematica liefert zwar
Lösungsterme, in denen aber spezielle bzw. etwas
exotische Funktionen (![[]](/images/popup.gif) Airy-Funktionen) vorkommen.
Der numerische Endwert ist dann
$\ x(2)\ [mm] \approx\ [/mm] 12.8256$
Dies übertrifft den Wert, den wir mit h=0.5 erhalten
hatten, noch um mehr als 0.5 !
LG und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:17 Mo 02.02.2015 | | Autor: | Bindl |
Vielen Dank für die Hilfe.
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