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| Aufgabe | Wenn [mm] x^{\bruch{2}{x}}=2^{x} [/mm] ist, wie groß ist dann [mm] x^{\bruch{1}{x^{2}}} [/mm] ? (für x>0)
Falls es schlecht zu lesen ist:
x hoch 2 durch x gleich zwei hoch x bzw. x hoch eins durch x-Quadrat |
[mm] x^{\bruch{2}{x}}=2^{x}
[/mm]
Jetzt gehe ich "ganz brutal" vor und dividiere den Exponenten jeweils durch 2x
[mm] x^{\bruch{1}{x^{2}}} [/mm] = [mm] 2^{\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Das Ergenis wäre also [mm] \wurzel{2}.
[/mm]
Meines Erachtens ist das aber nicht erlaubt, weil ja die Basis unterschiedlich ist (einmal x und einmal 2).
Aber: Wenn ich das Ganze "umständlich" rechne (unter Anwendung der Logarithmus-Regeln), dann kriege ich am Ende genau dasselbe raus, nämlich [mm] x^{\bruch{1}{x^{2}}}=2^{\bruch{1}{2}}, [/mm] also für den gesuchten Wert: [mm] \wurzel{2}.
[/mm]
Meine Frage: Ist das Zufall, oder war die "brutale Methode" doch korrekt gewesen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:41 Fr 08.06.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Ich habe auch noch gerade heraus gefunden, dass die Gleichung [mm] x^{\bruch{1}{x^{2}}}=\wurzel{2} [/mm] gar keine Lösung für x hat.
Der höchste Punkt der Funktion [mm] f(x)=x^{\bruch{1}{x^{2}}} [/mm] ist etwa bei H(1.6/1.2), das heißt [mm] \wurzel{2} [/mm] wird gar nicht erreicht, da das ja rund 1.4 ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:39 Fr 08.06.2007 | | Autor: | Regina256 |
Da dein Argument korrekt ist, würd ich schließen, dass auch der voarausgesetzte Schnittpunkt nicht existiert.....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:47 Fr 08.06.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Richtig. Es gibt gar keinen x-Wert, für den die Gleichung hinkommt.
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Guten Morgen! Ja, die brutale methode funktioniert immer, auch wenn die Exponenten nicht gleich sind! Der Beweis erfolgt durch die umständliche Methode, das Logarithmieren: [mm] a^b [/mm] = [mm] c^d, [/mm] also nach Logarithmieren:
blna=dlnc, beide Seiten sind Produkte, dürfen also zum Beispiel durch e dividiert werden: (b/e)lna=(d/e)lnc, jetzt delogarithmieren:
a^(b/e) = c^(d/e)!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 Fr 08.06.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Danke.
Gut zu wissen, dass man nicht umständlich mit den Logarithmen hantieren muss, denn so ("brutal") geht es natürlich viel schneller.
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