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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Sa 23.04.2005 | | Autor: | tobi.m |
Hallo,
ich soll zeigen, dass wenn AB = BA, dann [mm] e^{A}*B=B*e^{A}.
[/mm]
Kann man aus AB = BA mehr schließen wie [mm] \summe_{k=1}^{n}\alpha_{ik} \beta_{kj} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \beta_{ik} \alpha_{kj}, [/mm] A, B sind (n,n)-Matrizen?
Ich hab auch schon versucht A in diagonale und nilpotente Matrizen (Jordanzerlegung) zu zerlegen und es damit zu zeigen, leider bin ich da nicht weiter gekommen.
Kann mir bitte jemand einen Tipp dazu geben.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:18 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Tobi
ich würde vielleicht etwa so vorgehen:
zuerst ist zu zeigen, dass [mm] $A^n*B=B*A^n$
[/mm]
Das sähe in etwa so aus:
[mm] $A^n*B=$
[/mm]
$A*A*A*A*A*B=$
$A*A*A*A*(A*B)=$
$A*A*A*A*(B*A)=$
$A*A*A*(A*B)*A=$
$A*A*A*(B*A)*A=$
$A*A*(A*B)*A*A=$
$A*A*(B*A)*A*A=$
$A*(A*B)*A*A*A=$
$A*(B*A)*A*A*A=$
$(A*B)*A*A*A*A=$
$(B*A)*A*A*A*A=$
$B*(A*A*A*A*A)=$
[mm] $B*A^n$
[/mm]
Das ist natürlich nur die Idee, müsstest du schon ausbauen! (Vollständige Induktion)
Dann nimmst du einfach die Definition von [mm] $e^A$:
[/mm]
[mm] $e^A=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}A^k$
[/mm]
Somit:
[mm] $e^A*B=(\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}A^k)*B=$
[/mm]
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{1}{k!}A^k*B)=$
[/mm]
Jetzt nach dem Obigen:
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{1}{k!}B*A^k)=$
[/mm]
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty}(B*\bruch{1}{k!}A^k)=$
[/mm]
[mm] $B*(\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}A^k)=B*e^A$
[/mm]
Ich denke, das müsste so klappen! Du musst aber auch noch bei jedem Schritt angeben, warum der gemacht werden darf (oft wegen des Assoziativgesetzes, machmal auch wegen des Distributivgesetzes) 
Mit lieben Grüssen
Paul
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