Exponentialansatz komplex? < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | $y'' = a^2y = 2a [mm] \cdot \sin(ax)$ [/mm] (a>0) |
Hallo Leute,
ich habe eine Frage im Ansatz. Im Buch wird die zugehörige homogene Dgl. m.H des Exponentialansatz gelöst. [mm] $y=e^{\lambda x}, \quad [/mm] y'= [mm] \lambda e^{\lambda x}, \quad [/mm] y''= [mm] \lambda^2 e^{\lambda x} $: [/mm]
Setzen wir das in die zugehörige homogene Dgl. ein kommen wir auf:
[mm] $(\lambda^2 [/mm] + [mm] a^2) \cdot e^{\lambda x} = [/mm] 0$, wobei der Exponentialterm nicht Null werden kann und somit gilt:
[mm] $\Longrightarrow \lambda^2 [/mm] + [mm] a^2 [/mm] = 0 [mm] \quad \Longrightarrow \lambda_{1/2} [/mm] = [mm] \pm [/mm] ja $
Was ich nicht verstehe: Warum eine komplexe Lösung erforderlich ist, wenn doch a > 0 und somit die Wurzel nie komplex werden kann oder denke ich gerade falsch?
Vielen Dank für eure Hilfe,
Cafearabica
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 Di 26.06.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Cafearabica,
> [mm]\Longrightarrow \lambda^2 + a^2 = 0 \quad \Longrightarrow \lambda_{1/2} = \pm ja[/mm]
> Was ich nicht verstehe: Warum eine komplexe Lösung
> erforderlich ist, wenn doch a > 0 und somit die Wurzel nie
> komplex werden kann oder denke ich gerade falsch?
Ja. Für reelle [mm] $\lambda$ [/mm] ist doch [mm] $\lambda^2+a^2>0$. [/mm] Daher kann es keine reellen Lösungen geben.
Beantwortet das Deine Frage?
Gruß,
Wolfgang
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Ah, ein bisschen. Aber ich glaub es war auch ein bisschen "Betriebsblindheit" hier grad:-D Ich hab einfach nicht drauf geachtet, dass dort ja umgestellt [mm] $\lambda_{1/2} [/mm] = [mm] \sqrt{-a^2} [/mm] $ ergibt. Hab ichs jetzt?:-D
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 Mi 27.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Ah, ein bisschen. Aber ich glaub es war auch ein bisschen
> "Betriebsblindheit" hier grad:-D Ich hab einfach nicht
> drauf geachtet, dass dort ja umgestellt [mm]\lambda_{1/2} = \sqrt{-a^2}[/mm]
> ergibt. Hab ichs jetzt?:-D
Was soll denn [mm] $\sqrt {-a^2}$ [/mm] sein? Meines Wissens hat [mm] $\sqrt [/mm] b$ nur für $b [mm] \ge [/mm] 0$ eine Bedeutung.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Mi 27.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Ah, ein bisschen. Aber ich glaub es war auch ein bisschen
> > "Betriebsblindheit" hier grad:-D Ich hab einfach nicht
> > drauf geachtet, dass dort ja umgestellt [mm]\lambda_{1/2} = \sqrt{-a^2}[/mm]
> > ergibt. Hab ichs jetzt?:-D
>
> Was soll denn [mm]\sqrt {-a^2}[/mm] sein? Meines Wissens hat [mm]\sqrt b[/mm]
> nur für [mm]b \ge 0[/mm] eine Bedeutung.
so definiert's ein Mathematiker bzw. Analytiker und arbeitet auch (nur?) damit. Die Physiker und so manch' ein Numeriker hat auch keine Probleme damit, [mm] $i=\sqrt{-1}\,$ [/mm] zu schreiben...
Was ich aber noch nicht verstanden habe: In manch' einem Zahlentheoriebuch steht zwar sowas wie [mm] $\IZ+i*\IZ\,,$ [/mm] aber dann an anderer Stelle wiederum [mm] $\IZ *\sqrt{-5}\,.$ [/mm] Vielleicht gibt's also auch irgendwo in der Algebra/Zahlentheorie da eine Konvention (die ich aber nicht kenne) - vielleicht kann ja jemand wissendes was dazu sagen!
Und strenggenommen kann auch ein Analytiker mit sowas wie [mm] $\sqrt{-5}$ [/mm] etwas anfangen: Er muss dann halt komplexe Wurzeln kennen...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Mi 27.06.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Marcel,
> Was ich aber noch nicht verstanden habe: In manch' einem
> Zahlentheoriebuch steht zwar sowas wie [mm]\IZ+i*\IZ\,,[/mm] aber
> dann an anderer Stelle wiederum [mm]\IZ *\sqrt{-5}\,.[/mm]
> Vielleicht gibt's also auch irgendwo in der
> Algebra/Zahlentheorie da eine Konvention (die ich aber
> nicht kenne) - vielleicht kann ja jemand wissendes was dazu
> sagen!
>
> Und strenggenommen kann auch ein Analytiker mit sowas wie
> [mm]\sqrt{-5}[/mm] etwas anfangen: Er muss dann halt komplexe
> Wurzeln kennen...
Von denen es bekanntlich meistens zwei gibt. Und damit ist [mm] $\sqrt [/mm] z$ nur definiert, wenn man zusätzlich angibt, welche der beiden das nun sein soll. Oder man sagt, [mm] $\sqrt [/mm] z$ ist keine Zahl, sondern die Menge [mm] $\{u\in \IC\colon u^2=z\}$. [/mm]
Alles nicht so überzeugend. Und kompliziert. Und fehlerträchtig. (Eine Aufgabe hier im Forum verlangt, [mm] $\int_\gamma \sqrt [/mm] z $ zu berechnen, wobei [mm] $\gamma$ [/mm] ein vorgebener Weg in [mm] $\IC$ [/mm] ist. Der Dozent meinte auf Nachfrage, es spiele für das Ergebnis keine Rolle, für welche der beiden Wurzeln [mm] $\sqrt [/mm] z$ steht. Er irrte.)
Keiner kann strenggenommen etwas mit [mm] $\sqrt [/mm] z$ anfangen, aber Analytiker nehmen eben nicht alles so streng. Was mich immer wieder überrascht.
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:57 Mi 27.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> Hallo Marcel,
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> > Was ich aber noch nicht verstanden habe: In manch' einem
> > Zahlentheoriebuch steht zwar sowas wie [mm]\IZ+i*\IZ\,,[/mm] aber
> > dann an anderer Stelle wiederum [mm]\IZ *\sqrt{-5}\,.[/mm]
> > Vielleicht gibt's also auch irgendwo in der
> > Algebra/Zahlentheorie da eine Konvention (die ich aber
> > nicht kenne) - vielleicht kann ja jemand wissendes was dazu
> > sagen!
> >
> > Und strenggenommen kann auch ein Analytiker mit sowas wie
> > [mm]\sqrt{-5}[/mm] etwas anfangen: Er muss dann halt komplexe
> > Wurzeln kennen...
>
> Von denen es bekanntlich meistens zwei gibt. Und damit ist
> [mm]\sqrt z[/mm] nur definiert, wenn man zusätzlich angibt, welche
> der beiden das nun sein soll. Oder man sagt, [mm]\sqrt z[/mm] ist
> keine Zahl, sondern die Menge [mm]\{u\in \IC\colon u^2=z\}[/mm].
ja, so arbeite ich, wenn ich denn mal damit in Berührung komme, auch meist. Oder ich sage, dass [mm] $\sqrt{-5}$ [/mm] ein "Repräsentant" der Menge [mm] $\{-\sqrt{5}*i,\;\sqrt{5}i\}$ [/mm] ist - dann braucht man aber sowas wie die Repräsentantenunabhängigkeit, wenn man damit arbeiten will.
> Alles nicht so überzeugend. Und kompliziert. Und
> fehlerträchtig. (Eine Aufgabe hier im Forum verlangt,
> [mm]\int_\gamma \sqrt z[/mm] zu berechnen, wobei [mm]\gamma[/mm] ein
> vorgebener Weg in [mm]\IC[/mm] ist. Der Dozent meinte auf Nachfrage,
> es spiele für das Ergebnis keine Rolle, für welche der
> beiden Wurzeln [mm]\sqrt z[/mm] steht. Er irrte.)
>
> Keiner kann strenggenommen etwas mit [mm]\sqrt z[/mm] anfangen, aber
> Analytiker nehmen eben nicht alles so streng. Was mich
> immer wieder überrascht.
Bei den Analytikern kenne ich das eher so, dass das sehr penibel gehandhabt wird (ich bin ja selber eher Analytiker denn sonstwas). Bei den Numerikern sehe ich da meist oft, dass es egal ist, wie man, auch, wenn man eigentlich falsch gerechnet hat, zum Ziel gekommen ist. Hauptsache, man hat "wie üblich" gerechnet...
P.S.
Eben wegen der obigen Bemerkung macht ja eine Gleichung [mm] $i=\sqrt{-1}$ [/mm] ja so erstmal keinen Sinn - denn im komplexen gibt es nicht nur eine einzige Zahl [mm] $z\,$ [/mm] mit [mm] $z^2=-1\,.$ [/mm] Also ich würde es verstehen, wenn man $i [mm] \in \sqrt{-1}=\{-i,\;i\}$ [/mm] schreibt: Also $i [mm] \in \sqrt{-1}\,.$ [/mm] Aber "im Repräsentantensinn" würde [mm] $i=\sqrt{-1}$ [/mm] nun auch wieder irgendwie Sinn machen - aber dann muss man vorsichtig sein - wie Du schon sagst - was man da tut oder tun will.
Eine andere unschöne Notation aus der Informatik ist ja auch sowas wie [mm] $f=o(g)\,.$ [/mm] In der Mathematik haben wir immer $f [mm] \in [/mm] o(g)$ geschrieben, und das habe ich in der Informatik dann auch immer so geschrieben. Und dennoch macht sowas wie $f=o(g)$ auch Sinn, in dieser Notation zu nutzen: Siehe etwa Taylorreihenentwicklung...
Also manchmal sollte man sich einfach im klaren sein, dass manche Notationen eigentlich unsauber sind - aber weil sie "praktisch" sind, dennoch angewendet werden. Man muss irgendwie lernen, zu erkennen, wie man unsauberes sauber zu interpretieren hat.
Gruß,
Marcel
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