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| Aufgabe | DAs element U 234 zerfällt mit einer Halbwertszeit von 2,44 [mm] \* 10^{5} [/mm] Jahre
a.) Wieviel Prozent der ursprünglichen Menge sind noch nach 1000
[10.000 ; 100.000 t ] Jahren vorhanden ?
b.) NAch welcher Zeit sind noch 10 [ 5; 1 ; p ] % der ursprünglichen Menge
vorhanden ?
c.) Gib eine Funktion an, die dne bereits zerfallenen Anteil zum Zeitpunkt
t >0 angibt. Zeichen den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem.
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Huhu ^^
Ich komme an dieser Aufgabe einfach nicht weiter :(
Hab schon oder erst die Funktion ausgerechnet:
f(x) = 100 [mm] \* 0,75^{x}
[/mm]
Das ist auch richtig, habe die schon von meinem Lehrer kontrollieren lassen, Weiß aber nciht , wo cih jetzt die 1000 einsetzten soll und wie ich den Prozentualen anteil berechne.
Hoff eihr könnt mir helfen
Maggie
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Hallo!
> DAs element U 234 zerfällt mit einer Halbwertszeit von 2,44
> [mm]\* 10^{5}[/mm] Jahre
>
> a.) Wieviel Prozent der ursprünglichen Menge sind noch nach
> 1000
> [10.000 ; 100.000 t ] Jahren vorhanden ?
>
> b.) NAch welcher Zeit sind noch 10 [ 5; 1 ; p ] % der
> ursprünglichen Menge
> vorhanden ?
>
> c.) Gib eine Funktion an, die dne bereits zerfallenen
> Anteil zum Zeitpunkt
> t >0 angibt. Zeichen den Graphen in ein geeignetes
> Koordinatensystem.
> Hab schon oder erst die Funktion ausgerechnet:
>
> f(x) = 100 [mm]\* 0,75^{x}[/mm]
>
> Das ist auch richtig, habe die schon von meinem Lehrer
> kontrollieren lassen, Weiß aber nciht , wo cih jetzt die
> 1000 einsetzten soll und wie ich den Prozentualen anteil
> berechne.
Ich weiß zwar gerade nicht, wie du darauf kommst, aber wenn es richtig ist, dann wollen wir mal damit weiterrechnen. 
Wo kannst du die 1000 wohl einsetzen? Eigentlich gibt es da doch nur eine Möglichkeit - nämlich für das x. Das ergibt dann:
[mm] f(1000)=100*0,75^{1000}
[/mm]
Das ist wohl ungefähr [mm] 1,15*10^{-123} [/mm] - aber mein Taschenrechner konnte das nicht mehr, der gibt mir 0 aus. Dieses Problem hatte ich letztens beim Nachhilfe geben auch schon - keine Ahnung, ob die bei der Stellung der Aufgaben einfach nicht darauf achten, oder ob irgendwas anderes an der Aufgabe falsch ist...
Und wieviel Prozent das dann sind, dafür muss man nur Prozentrechnung können! Am einfachsten nimmst du einfach die Formel:
[mm] p=\bruch{P}{G}*100
[/mm]
Für P setzt das das gerade Errechnete ein, für G kommt die Ausgangsmenge hin und 100 ist halt 100. Wenn du das dann berechnest, erhältst du die Prozentzahl. Für die beiden anderen Zahlen machst du das genaus, wobei ich mich frage, was denn 100.000 t bedeutet. Normalerweise würde ich das für Tage halten, aber 100.000 Tagen Jahren macht keinen Sinn!? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Zur zweiten:
10% sind ja genau [mm] \bruch{1}{10} [/mm] - also setzt du deine Funktion [mm] =\bruch{1}{10}:
[/mm]
[mm] 100*0,75^x=\bruch{1}{10}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] 0,75^x=0,001
[/mm]
[mm] \gdw [/mm]
[mm] \log_{0,75}0,75^x=\log_{0,75}0,001
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] x=\bruch{\ln(0,001)}{\ln(0,75}\approx [/mm] 24
Bei den anderen Zahlen geht es dann genauso: 5 % sind [mm] \bruch{1}{20}, [/mm] 1 % [mm] \bruch{1}{100} [/mm] und p % [mm] \bruch{p}{100}.
[/mm]
Die letzte soll mal lieber jemand anders machen  - aber ich glaube, das hilft dir schon mal.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 Mi 22.03.2006 | | Autor: | chrisno |
also, Deine Funktion ist nur dann richtig, wenn Du für x die Zahl der Jahre durch eine Millionen einsetzt. Hat der Lehrer gegrinst, als er sie abgenickt hat? Darum kommt auch Mist raus, wenn Bestiane 1000 einsetzt.
Der reguläre Weg ist dieser:
[mm]N(t) = N(0) * e^{-kt}[/mm]
dabei ist N(t) die Menge des Elements, die zur Zeit t da ist. N(0) ist also die anfangs vorhandene Menge. k ist die Zerfallskonstante, die gleich berechnet werden muss. t ist die Zeit, im weiteren in Jahren genommen.
Bestimmung von k:
[mm]N(2,44*10^5) = 0,5 * N(0) = N(0) * e^{-k * 2,44 * 10^5}[/mm]
Hinweis: falls Du damit besser fährst, schreibe statt t immer x und statt N immer f. Dann hast Du die f(x) Schreibweise. Im Prinzip kann man auch statt N(0) eins schreiben, lass es lieber stehen, dann kanst Du auch Fragen beantworten, wenn es sich um 5kg handelt.
Das,was links und rechts vom zweiten Gleichheitszeichen steht nehmen und Umformen:
[mm]ln(0,5) = -k*2,44*10^5[/mm]
Damit k ausrechnen.
Lösung zu a) 1000, 10000, 100000 für t einsetzen und mit 100 malnehmen (weil ja nach Prozenten gefragt war).
Lösung zu b)
[mm]N(t) = \frac{p}{100}N(0) * e^{-kt}[/mm]
Dann wie zur Bestimmung von k weiterrechnen, bloß dabei t bestimmen. Dann die konkreten Werte für p einsetzen.
Lösung zu c)
Der zerfallene Anteil berechnet sich aus dem ursprünglich vorhandenem minus dem was noch da ist:
[mm]Z(t) = N(0) - N(0) * e^{-kt} = N(0)*(1-e^{-kt})[/mm]
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