Exponentialfkt für Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 So 15.06.2008 | | Autor: | Zweiti |
| Aufgabe | Betrachten Sie die folgende Verallgemeinerung der Exponentialfunktion für Matrizen A [mm] \in [/mm] Mat(n x [mm] n;\IR):
[/mm]
exp(A):= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{m}\bruch{1}{k!}A^{k}
[/mm]
a) Bestimmen Sie exp(D) für eine Diagonalmatrix D [mm] \in [/mm] Mat(n x [mm] n;\IR)
[/mm]
b) Zeigen Sie, dass für A [mm] \in [/mm] Mat(n x [mm] n;\IR) [/mm] und S [mm] \in Gl_{n}(\IR) [/mm] stets gilt
[mm] exp(SAS^{-1})= [/mm] S exp(A) [mm] S^{-1}
[/mm]
c) Bestimmen Sie für
A= [mm] \pmat{ 3 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 }
[/mm]
eine Matrix S [mm] \in Gl_{3}(\IR), [/mm] sodass
A= [mm] S(D+N)S^{-1},
[/mm]
wobei D Diagonalmatrix, N nilpotent und DN=ND.
Berechnen Sie exp(A). Sie dürfen dabei verwenden, dass für vertauschbare Matrizen A, B [mm] \in [/mm] Mat(n x n; [mm] \IR) [/mm] gilt
exp(A+B)=exp(A) exp(B). |
Hallo,
also die Aufgaben a,b habe ich schon gelöst und damit ergibt sich mich für Aufgabe c folgender Ansatz:
exp(A)= [mm] S(diag(e^{\lambda 1}, [/mm] ... [mm] e^{\lambda n}))(\summe_{m=0}^{l-1}\bruch{1}{m!}N^{m})S^{-1}, [/mm] l= Nilpotenzgrad von N.
Das hab ich auch bewiesen.
Dann wollte ich um die Zerlegung in nilpotent und diagonalisierbar herzustellen, die Eigenwerte berechnen und bekomme [mm] \lambda=1, [/mm] damit ergeben sich als Eigenvektoren [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}. [/mm] Und somit für mein Matrix S die EInheitsmatrix, aber das kann doch nicht richtig sein, oder? Weil jetzt kann ich damit ja nicht weiter rechnen, weil automatisch [mm] S^{-1} [/mm] auch wieder die Einheitsmatrix ist.
Danke
Zweiti
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 So 15.06.2008 | | Autor: | Vreni |
> Dann wollte ich um die Zerlegung in nilpotent und
> diagonalisierbar herzustellen, die Eigenwerte berechnen und
> bekomme [mm]\lambda=1,[/mm] damit ergeben sich als Eigenvektoren
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}.[/mm]
> Und somit für mein Matrix S die EInheitsmatrix, aber das
> kann doch nicht richtig sein, oder? Weil jetzt kann ich
> damit ja nicht weiter rechnen, weil automatisch [mm]S^{-1}[/mm] auch
> wieder die Einheitsmatrix ist.
Hallo,
ich habe keine Ahnung, wie du auf drei Eigenvektoren, bei mir gibt es nur einen einzigen, nämlich [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}. [/mm] Deswegen brauchst du hier die Jordan-Normalform. Sagt dir das etwas?
Gruß,
Vreni
|
|
|
|
