Exponentialfunktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Mo 09.03.2015 | | Autor: | xxxberta |
Es wäre echt nett mir eine Erklärung zu geben , wie man diese aufgabe löst:
Die Funktion [mm] f(x)=e^x-4e^0,5x [/mm] sei gegeben. Untersuchen sie die Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. Geben sie die Gleichung der Wendetangente an.
Wie ging das nochmal mit den Nullstellen ich brauch nur die Rechnung, dann weiß ich auch, wie das Extrema berechnet werden kann.
Eine erklärung der Wendetangente wäre auch sehr nett! ich weißß nur (m*x+n)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Mo 09.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Es wäre echt nett mir eine Erklärung zu geben , wie man
> diese aufgabe löst:
> Die Funktion [mm]f(x)=e^x-4e^0,5x[/mm] sei gegeben.
> Die Funktion lautet wohl so: [mm]f(x)=e^x-4e^{0,5x}[/mm]
Untersuchen
> sie die Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. Geben sie die
> Gleichung der Wendetangente an.
>
> Wie ging das nochmal mit den Nullstellen ich brauch nur die
> Rechnung, dann weiß ich auch, wie das Extrema berechnet
> werden kann.
f(x)=0 [mm] \gdw e^x-4e^{0,5x}=0 \gdw e^{0,5x}(e^{0,5x}-4)=0
[/mm]
Kommst Du nun weiter ?
> Eine erklärung der Wendetangente wäre auch sehr nett!
> ich weißß nur (m*x+n)
Sei [mm] W(x_w|y_w) [/mm] Wendepunkt. Dann ist [mm] m=f'(x_w). [/mm]
n bekommst Du aus der Gleichung
[mm] y_w=m*x_w+n.
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Mo 09.03.2015 | | Autor: | xxxberta |
Vielen dank für die schnelle antwort fred , aber wieso darfst du [mm] e^0,5x [/mm] ausklammern, wenn der andere e therm keine hoch 0,5 x beinhaltet ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Mo 09.03.2015 | | Autor: | fred97 |
[mm] e^{2a}=e^{a+a}=e^a*e^a
[/mm]
a=0,5x
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Mo 09.03.2015 | | Autor: | Paul88 |
Hallo,
nach den Potenzgesetzen gilt [mm] a^x*a^y [/mm] = [mm] a^{x+y}. [/mm] Es gilt also [mm] e^x=e^{{0.5x}+{0.5x}}=e^{0.5x}*e^{0.5x}.
[/mm]
Gruß,
Paul88
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Mo 09.03.2015 | | Autor: | xxxberta |
vielen dank ihr seid so lieb,
aber wie geht das jetzt weiter
ein produkt ist gleich null wenn eiener der beiden faktoren gleich null ist, also berechnet man das nun,
e funktionen können doch nihct null seinn oder ?
und [mm] e^0,55x [/mm] -4 = 0
wird das mit ln gerechnet ?
beste grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Mo 09.03.2015 | | Autor: | Paul88 |
ln klingt gut! ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Mo 09.03.2015 | | Autor: | xxxberta |
könntest du es bitte ausrechnen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Mo 09.03.2015 | | Autor: | Paul88 |
Nunja, ich kann dir hier leider keine fertigen Lösungen servieren, aber wenn du den zweiten Faktor null setzt, erhältst du ja:
[mm] e^{0.5x}-4=0
[/mm]
[mm] \gdw e^{0.5x}=4
[/mm]
[mm] \gdw ln(e^{0.5x})=ln(4)
[/mm]
Was passiert nun auf der linken Seite der Gleichung?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Mo 09.03.2015 | | Autor: | xxxberta |
Also [mm] e^x [/mm] kann nicht Null sein oder? also gibt es da schonmal keine nullstelle?
aber e^(0,5x)=4
da kommt doch raus 0,5x=1,39 /:0,5
x=2,77
ist das richtig dass es nur eine nullstelle gibt, bitte beide fragen beantwroten danke sehr
echt lieb
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 Mo 09.03.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Also [mm]e^x[/mm] kann nicht Null sein oder? also gibt es da
> schonmal keine nullstelle?
was meinst Du mit "da"? Du hast auf jeden Fall Recht, es gilt [mm] $e^x\neq [/mm] 0$
>
> aber e^(0,5x)=4
> da kommt doch raus 0,5x=1,39 /:0,5
> x=2,77
Das stimmt so ungefähr. Ich würde es aber symbolisch ausrechnen, nicht numerisch. (So wie es Roadrunner vorgerechnet hat)
> ist das richtig dass es nur eine nullstelle gibt, bitte
> beide fragen beantwroten danke sehr
> echt lieb
>
Ja, es gibt nur eine Nullstelle.
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Mo 09.03.2015 | | Autor: | Paul88 |
Der erste Faktor kann nicht null werden, da hast du recht! Das kannst du auch rechnerisch zeigen:
[mm] e^{0.5x}=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0.5x=ln(0)
ln(0) ist jedoch nicht definiert, daher ist so gezeigt, dass der erste Faktor nicht null werden kann.
Für den zweiten Faktor ist dein Ergebnis richtig, nur für zukünftige Rechenwege würde ich dir empfehlen, solange wie möglich ohne Runden weiterzurechnen (also mit ln(4)).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:46 Mo 09.03.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Paul88!
> Der erste Faktor kann nicht null werden, da hast du recht!
> Das kannst du auch rechnerisch zeigen:
>
> [mm]e^{0.5x}=0[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] 0.5x=ln(0)
Das ist keine Äquivalenzumformung!
> ln(0) ist jedoch nicht definiert, daher ist so gezeigt,
> dass der erste Faktor nicht null werden kann.
Nein, damit ist nichts gezeigt. Ein möglicher Weg dein Vorhaben
zu begründen, wäre sich die Exponentialreihe noch einmal genau
anzuschauen.
> Für den zweiten Faktor ist dein Ergebnis richtig, nur für
> zukünftige Rechenwege würde ich dir empfehlen, solange
> wie möglich ohne Runden weiterzurechnen (also mit ln(4)).
Weiterer Vorschlag:
[mm] \ln(4)=\ln(2^2)=2*\ln(2).
[/mm]
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Mo 09.03.2015 | | Autor: | Paul88 |
Wieso handelt es sich dabei nicht um eine Äquivalenzumformung? Liegt der Fehler nicht eher darin, dass ich einfach eine weitere unbewiesene Aussage verwende?
Und könnte mir vielleicht noch einmal jemand etwas ausführlicher die Begründung mit der Reihe erklären (also formal-rechnerisch, soweit wie dies möglich ist)?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Mo 09.03.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Wieso handelt es sich dabei nicht um eine
> Äquivalenzumformung? Liegt der Fehler nicht eher darin,
> dass ich einfach eine weitere unbewiesene Aussage
> verwende?
Was denn für eine unbewiesene Aussage? Du wendest den Logarithmus
an, obwohl er auf der rechten Seite nicht definiert ist.
> Und könnte mir vielleicht noch einmal jemand etwas
> ausführlicher die Begründung mit der Reihe erklären
> (also formal-rechnerisch, soweit wie dies möglich ist)?
Eine Möglichkeit ist durch die Definition
[mm] $\exp(x):=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\qquad(=1+x+\frac{x^2}{2}+\ldots)$.
[/mm]
gegeben. Betrachte nun drei Fälle:
1) Sei [mm] $x=0\$. [/mm] Zeige: [mm] $\exp(x)>0$.
[/mm]
2) Sei [mm] $x>0\$. [/mm] Zeige: [mm] $\exp(x)>0$.
[/mm]
3) Sei [mm] $x<0\$. [/mm] Zeige: [mm] $\exp(x)>0$.
[/mm]
Zum dritten Punkt ein Tipp: Für alle [mm] x,y\in\IR [/mm] gilt:
[mm] \exp(x+y)=\exp(x)*\exp(y).
[/mm]
Setze [mm] $x:=-y\$ [/mm] und verwende den zweiten Punkt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Mo 09.03.2015 | | Autor: | Paul88 |
Oh man, wie peinlich, vielen Dank! Das war wirklich ziemlich unüberlegt und blöd.
Zu dem Beweis:
Beim dritten Punkt:
Es gilt [mm] e^{-y}*e^y=e^{-y+y}=e^0=1.
[/mm]
Da [mm] e^y>0 [/mm] nach Punkt 2, kann [mm] e^{-y} [/mm] nicht negativ oder 0 sein, da das Produkt sonst negativ oder null wäre und nicht 1.
Richtig?! (Unter der Voraussetzung, dass [mm] e^0=1)?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:01 Mo 09.03.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Richtig?!
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 Mo 09.03.2015 | | Autor: | Paul88 |
Vielen Dank! :)
|
|
|
| |
|
Hallo Berta!
[mm] $e^{0{,}5*x}-4 [/mm] \ = \ 0$
[mm] $e^{0{,}5*x} [/mm] \ = \ 4$
[mm] $\ln\left(e^{0{,}5*x}\right) [/mm] \ = \ [mm] \ln(4)$
[/mm]
$0{,}5*x \ = \ [mm] \ln(4)$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Mo 09.03.2015 | | Autor: | xxxberta |
vielen dank allerseits,
ihr seid die besten
|
|
|
|
