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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 Di 08.01.2008 | | Autor: | Idefix08 |
| Aufgabe | | [mm] e^{x}+2*e^{-x} [/mm] = 3 |
Hallo,
kann mir jemand sagen wie ich bei solchen Aufgaben vorzugehen habe?
Danke im voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Di 08.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
zunächst machen wir die Beobachtung, dass [mm] $e^x [/mm] > 0$ für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt.
Durch Substitution [mm] $y=e^x$ [/mm] folgt dann wegen [mm] $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$, [/mm] dass gilt:
[mm] $e^x+2*e^{-x}=3$
[/mm]
[mm] $\gdw y+\frac{2}{y}=3$
[/mm]
Hierbei ist [mm] $y=e^x [/mm] > 0$, also insbesondere $y [mm] \not=0$. [/mm] Multipliziere die letzte Gleichung mit $y$, und Du erhälst eine zu der Ausgangsgleichung äquivalente quadratische Gleichung in der Variablen $y$, die Du nach der pq-Formel lösen kannst.
Schlussendlich [mm] $y=e^x \gdw [/mm] x=ln(y)$ (für $y > 0$) liefert dann die gesuchten $x$-Werte (derer gibt es genau 2).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Di 08.01.2008 | | Autor: | Idefix08 |
Vielen Dank, dass habe ich jetzt verstanden!
Bloß was mache ich z.B. bei [mm] e^{x^{2}-x}=4
[/mm]
Bin folgendermaßen vorgegangen:
[mm] e^{x^{2}-x} [/mm] = 4 [mm] \Rightarrow {x^{2}-x} [/mm] = LN4
[mm] x^{2} [/mm] - x - LN4 = 0
Dann über p-q Formel bekomme ich 2 Werte: 1,779 -0,779
Wenn ich wieder zurückrechne erhalte ich nicht das richtige x.
Wo liegt mein Fehler?
Gruß
Idefix
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Hallo,
> Vielen Dank, dass habe ich jetzt verstanden!
> Bloß was mache ich z.B. bei [mm]e^{x^{2}-x}=4[/mm]
> Bin folgendermaßen vorgegangen:
>
>
> [mm]e^{x^{2}-x}[/mm] = 4 [mm]\Rightarrow {x^{2}-x}[/mm] = LN4
>
> [mm]x^{2}[/mm] - x - LN4 = 0
>
> Dann über p-q Formel bekomme ich 2 Werte: 1,779 -0,779
> Wenn ich wieder zurückrechne erhalte ich nicht das
> richtige x.
> Wo liegt mein Fehler?
Deine Lösungen sind richtig! Du musst dich beim Einsetzen verrechnet haben.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Di 08.01.2008 | | Autor: | Idefix08 |
Für LN 1,779 erhalte ich 0,576
Das eingesetzt in [mm] e^{x^{2}-x} [/mm] ergibt 0,783 und nicht 4?
Hab ich so ein großes Brett vor dem Kopf?????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Di 08.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> Für LN 1,779 erhalte ich 0,576
>
> Das eingesetzt in [mm]e^{x^{2}-x}[/mm] ergibt 0,783 und nicht 4?
>
> Hab ich so ein großes Brett vor dem Kopf?????
Hallo,
hier hattest Du doch gar nicht sowas wie [mm] $y=e^x$ [/mm] substituieren müssen. Also $x=1,779$ ist eine Deiner zwei Lösungen, Du brauchst hier nicht mehr den Logarithmus auf $x$ anwenden, das war in der Aufgabe davor nur notwendig, weil wir [mm] $y=e^x$ [/mm] substituiert hatten und danach eine quadratische Gleichung in $y$ lösen mussten, aber am Ende dann die zugehörigen $x$-Werte gebraucht haben.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:10 Di 08.01.2008 | | Autor: | Idefix08 |
Vielen Dank!
Man sollte manchmal auch mal genauer hingucken..
Gruß Idefix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Di 08.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ... was mache ich z.B. bei [mm]e^{x^{2}-x}=4[/mm]
> Bin folgendermaßen vorgegangen:
>
> [mm]e^{x^{2}-x}[/mm] = 4 [mm]\Rightarrow {x^{2}-x}[/mm] = LN4
>
> [mm]x^{2}[/mm] - x - LN4 = 0
>
> Dann über p-q Formel bekomme ich 2 Werte: 1,779 -0,779
Du erhälst also: $x [mm] \approx [/mm] 1,779$ oder $x [mm] \approx [/mm] -0,779$
> Wenn ich wieder zurückrechne erhalte ich nicht das
> richtige x.
> Wo liegt mein Fehler?
Inwiefern willst Du hier die "richtigen" $x$ zurückrechnen? Ich meine, Du hast oben schon $x$-Werte (näherungsweise) ausgerechnet. Wenn ich das in die Ausgangsgleichung zur Kontrolle einsetze:
$x=-0,779 [mm] \Rightarrow x^2-x=0,606841-(-0,779)=1,385841$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow e^{x^2-x}=e^{1,385841}=3,9981...$, [/mm] was sehr nahe an der $4$ liegt, also [mm] $\approx [/mm] 4$ ist. Die genäherte Lösung löst also auch (näherungsweise) die Aufgabe. Wenn Du bei der Lösung der pq-Formel nicht ln(4) (und damit auch die $x$-Werte) näherst, sondern das Symbol ln(4) stehen läßt, bekommst Du auch die Lösungen heraus, die die Gleichung genau lösen.
Gruß,
Marcel
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Das macht ja nichts, es kann ja passieren, dass Du mit den Gedanken noch ein wenig bei der anderen Aufgabe warst und hier etwas vermischt hattest, das passiert (fast) jedem Mal 
