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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Mi 04.01.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | exp(x) [mm] -\summe_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}|=|\summe_{k=n+1}^{\infty}\frac{x^k}{k!}| \le \summe_{k=n+1}^{\infty}\frac{|x^k|}{k!}= \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} [/mm] * (1+ [mm] \frac{|x|}{n+2}+\frac{|x|^2}{(n+2)*(n+3)}...)
[/mm]
|x| [mm] \le [/mm] 1+ [mm] \frac{n}{2} [/mm] |
Ich versteh nicht wie man am SChluss kommt auf |x| [mm] \le [/mm] 1+ [mm] \frac{n}{2} [/mm] Die vorigen SChritte verstehe ich.
LG
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Hallo,
> | exp(x) [mm]-\summe_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}|=|\summe_{k=n+1}^{\infty}\frac{x^k}{k!}| \le \summe_{k=n+1}^{\infty}\frac{|x^k|}{k!}= \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}[/mm] * (1+ [mm]\frac{|x|}{n+2}+\frac{|x|^2}{(n+2)*(n+3)}...)[/mm]
> |x| [mm]\le[/mm] 1+ [mm]\frac{n}{2}[/mm]
> Ich versteh nicht wie man am SChluss kommt auf |x| [mm]\le[/mm] 1+ [mm]\frac{n}{2}[/mm] Die vorigen SChritte verstehe ich.
Woraus soll man das schließen?
Ich erkenne keinen Folgerungspfeil?!
Das steht da so frei vom Himmel gefallen. Fehlt in der ersten Abschätzung etwas?
Die obere Abschätzung gilt doch für alle x, vllt. kommt dann noch was, das für [mm]|x|\le\frac{n+2}{2}[/mm] gilt?!
Das sieht inkomplett aus ...
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Mi 04.01.2012 | | Autor: | sissile |
Darf ich dir einen Link posten?
http://homepage.univie.ac.at/christian.schmeiser/einfanalysis.pdf
S.50 ganz unten und S.51 ganz oben
Liebe Grüße
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Hallo nochmal,
> Darf ich dir einen Link posten?
>
> http://homepage.univie.ac.at/christian.schmeiser/einfanalysis.pdf
> S.50 ganz unten und S.51 ganz oben
Ja da oben auf S51 geht's doch weiter. Da fehlte also doch etwas ...
Da stehen doch die Begründungen dran.
Zunächst wird in der Summe [mm]1+\frac{|x|}{(n+2)}+\frac{|x|^2}{(n+2)(n+3)}+\ldots[/mm] in allen Nennern ab dem dritten alle Faktoren [mm]n+3, n+4, n+5,\ldots[/mm] verkleinert zu [mm](n+2)[/mm], die Produkte in den Nennern werden also verkleinert zu [mm](n+2)^k[/mm] für [mm]k=2,3,...[/mm]
Damit vergrößern sich die Brüche/Summanden (ab dem dritten), es vergrößert sich also die Summe insgesamt:
[mm]1+\frac{|x|}{(n+2)}+\frac{|x|^2}{(n+2)(n+3)}+\ldots \ \le \ 1+\frac{|x|}{(n+2)}+\frac{|x|^2}{(n+2)^2}+\frac{|x|^3}{(n+2)^3}+\ldots[/mm]
Die Summe wird wieder kompakt geschrieben als [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{|x|}{n+2}\right)^k[/mm]
Dann erst wird unter der Voraussetzung, dass [mm]|x|\le 1+n/2=\frac{n+2}{2}[/mm] ist, weiter abgeschätzt, so dass man eine schöne geometr. Reihe bekommt.
Nun klar?
>
>
> Liebe Grüße
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Mi 04.01.2012 | | Autor: | sissile |
Achso, okay danke !!
Und was gibt nun das Resultata [mm] \frac{2*|x|^{n+1}}{(n+1)!} [/mm] an? Den Fehler wenn man bei exp mit Partialsummen rechneT?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 Mi 04.01.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Achso, okay danke !!
> Und was gibt nun das Resultata [mm]\frac{2*|x|^{n+1}}{(n+1)!}[/mm]
> an? Den Fehler wenn man bei exp mit Partialsummen rechneT?
dies ist der Fehlerterm. Insgesamt gilt:
[mm]exp(x)=\summe_{n=0}^{N} \bruch{x^n}{n!}+R_{N+1}(x)[/mm].
[mm]R_{N+1}(x)[/mm] bezeichnet den Fehler (gegenüber dem exakten Ergebnis), wenn man die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{N} \bruch{x^n}{n!}[/mm] bis N laufen lässt.
Gruß
barsch
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