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| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Funktion auf Monotonie, Beschränktheit und Symmetrie. |
Hallo Leute,
gegeben ist folgende Funktion:
f(x) = [mm] \bruch{2e^{x}}{1+e^{x}}-1
[/mm]
Soweit, sogut.
Im ersten Schritt der Musterlösung wird erstmal umgeformt:
f(x) = [mm] \bruch{2e^{x}}{e^{x}*e^{-x}+e^{x}}-1 [/mm] = [mm] \bruch{2}{e^{-x}+1}-1
[/mm]
Meine erste Frage ist, wie komme ich auf den Term [mm] "\bruch{2e^{x}}{[u]e^{x}*e^{-x}[/u]+e^{x}}-1" [/mm] insbesondere auf den unterstrichenen Teil?
Wurde hier die 1 einfach durch [mm] \bruch{e^{x}}{e^{x}} [/mm] ersetzt und der Nenner dann durch [mm] e^{-x} [/mm] auf den Zähler gezogen?
Die Musterlösung sagt dann ferner (bei der Monotonie), dass f durch c=1 beschränkt ist. Warum und wo sehe ich das?
Um zu zeigen, dass eine Punktsymmetrie vorliegt, wird gezeigt, dass f(-x) = -f(x); das ist mir klar. Allerdings sehe ich den Weg dorthin nicht. Es wird gesagt, dass bereits gezeigt wurde, dass f(x) = [mm] \bruch{2}{e^{-x}+1}-1
[/mm]
Ausgehend davon wird dann weiter umgeformt:
[mm] f(x)=\bruch{2}{e^{-x}+1}-1 [/mm] = [mm] \bruch{2}{e^{-x}+1}[u]-2+1[/u] [/mm]
den unterstrichenen Teil verstehe ich nicht
= [mm] \bruch{2}{e^{-x}+1}-\bruch{2e^{-x}+2}{e^{x}+1}+1
[/mm]
diesen ganzen Teil verstehe ich nicht; warum ändert sich das Vorzeichen des Exponenten im Nenner auf einmal?
= [mm] \bruch{2-2e^{x}-2}{e^{x}+1}+1
[/mm]
dieser Teil ist klar; ist ja der gleiche Nenner und deshalb können die Brüche zusammengezogen werden.
= [mm] -\bruch{2e^{x}}{1+e^{x}}-1
[/mm]
= punktsymmetrisch
Ich verstehe die Umformungen nicht.
Ich würde mich freuen, wenn mir das einer erklären kann.
Besten Dank vorab!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:29 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo JohannvFels,
> Untersuchen Sie die Funktion auf Monotonie, Beschränktheit
> und Symmetrie.
>
> Hallo Leute,
>
> gegeben ist folgende Funktion:
>
> f(x) = [mm]\bruch{2e^{x}}{1+e^{x}}-1[/mm]
>
> Soweit, sogut.
>
> Im ersten Schritt der Musterlösung wird erstmal umgeformt:
>
>
> f(x) = [mm]\bruch{2e^{x}}{e^{x}*e^{-x}+e^{x}}-1[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{e^{-x}+1}-1[/mm]
>
> Meine erste Frage ist, wie komme ich auf den Term
> [mm]"\bruch{2e^{x}}{[u]e^{x}*e^{-x}[/u]+e^{x}}-1"[/mm] insbesondere auf den
> unterstrichenen Teil?
[mm] $e^{-x}*e^x=1$
[/mm]
> Die Musterlösung sagt dann ferner (bei der Monotonie),
> dass f durch c=1 beschränkt ist. Warum und wo sehe ich
> das?
Durch Vereinfachung der Ungleichung
[mm] $\frac [/mm] 2 [mm] {e^{-x}+1}-1\le [/mm] 1$
bist Du siehst, daß sie stimmt.
>
> Um zu zeigen, dass eine Punktsymmetrie vorliegt, wird
> gezeigt, dass f(-x) = -f(x); das ist mir klar. Allerdings
> sehe ich den Weg dorthin nicht. Es wird gesagt, dass
> bereits gezeigt wurde, dass f(x) = [mm]\bruch{2}{e^{-x}+1}-1[/mm]
>
> Ausgehend davon wird dann weiter umgeformt:
>
> [mm]f(x)=\bruch{2}{e^{-x}+1}-1[/mm] = [mm]\bruch{2}{e^{-x}+1}[u]-2+1[/u][/mm]
>
> den unterstrichenen Teil verstehe ich nicht
-2+1 = -1
>
> = [mm]\bruch{2}{e^{-x}+1}-\bruch{2e^{-x}+2}{e^{x}+1}+1[/mm]
>
> diesen ganzen Teil verstehe ich nicht; warum ändert sich
> das Vorzeichen des Exponenten im Nenner auf einmal?
Tipfehler? Im Zähler des rechten Bruchs müßte [mm] $e^{x}$ [/mm] statt [mm] $e^{-x}$ [/mm] stehen. Damit
wäre der Schritt durch
[mm] $2=\frac {2e^{x} + 2} [/mm] { [mm] e^x+1}$
[/mm]
begründet.
>
> = [mm]\bruch{2-2e^{x}-2}{e^{x}+1}+1[/mm]
>
> dieser Teil ist klar; ist ja der gleiche Nenner und deshalb
> können die Brüche zusammengezogen werden.
Diesen Schritt verstehe nun ich nicht. Die Nenner sind nicht gleich!
>
> = [mm]-\bruch{2e^{x}}{1+e^{x}}-1[/mm]
>
> = punktsymmetrisch
>
> Ich verstehe die Umformungen nicht.
Ich auch nicht.
>
> Ich würde mich freuen, wenn mir das einer erklären kann.
Teilweise falsche Umformungen kann keiner erklären.
Um die Punktsymmetrie nachzuweisen, vereinfache die Gleichung
$-f(x)=f(-x)$
solange, bis Du siehst, daß sie stimmt. Das sollte nicht allzu schwierig sein. Dabei kannst Du ruhig die ursprüngliche Definition von $f(x)$ nehmen.
Grüße,
Wolfgang
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> Hallo JohannvFels,
>
>
> > Untersuchen Sie die Funktion auf Monotonie, Beschränktheit
> > und Symmetrie.
> >
> > Hallo Leute,
> >
> > gegeben ist folgende Funktion:
> >
> > f(x) = [mm]\bruch{2e^{x}}{1+e^{x}}-1[/mm]
> >
> > Soweit, sogut.
> >
> > Im ersten Schritt der Musterlösung wird erstmal umgeformt:
> >
> >
> > f(x) = [mm]\bruch{2e^{x}}{e^{x}*e^{-x}+e^{x}}-1[/mm] =
> > [mm]\bruch{2}{e^{-x}+1}-1[/mm]
> >
> > Meine erste Frage ist, wie komme ich auf den Term
> > [mm]"\bruch{2e^{x}}{[u]e^{x}*e^{-x}[/u]+e^{x}}-1"[/mm] insbesondere auf den
> > unterstrichenen Teil?
>
> [mm]e^{-x}*e^x=1[/mm]
>
> > Die Musterlösung sagt dann ferner (bei der Monotonie),
> > dass f durch c=1 beschränkt ist. Warum und wo sehe ich
> > das?
>
> Durch Vereinfachung der Ungleichung
>
> [mm]\frac 2 {e^{-x}+1}-1\le 1[/mm]
>
> bist Du siehst, daß sie stimmt.
>
>
> >
> > Um zu zeigen, dass eine Punktsymmetrie vorliegt, wird
> > gezeigt, dass f(-x) = -f(x); das ist mir klar. Allerdings
> > sehe ich den Weg dorthin nicht. Es wird gesagt, dass
> > bereits gezeigt wurde, dass f(x) = [mm]\bruch{2}{e^{-x}+1}-1[/mm]
> >
> > Ausgehend davon wird dann weiter umgeformt:
> >
> > [mm]f(x)=\bruch{2}{e^{-x}+1}-1[/mm] = [mm]\bruch{2}{e^{-x}+1}[u]-2+1[/u][/mm]
> >
> > den unterstrichenen Teil verstehe ich nicht
>
> -2+1 = -1
> >
> > = [mm]\bruch{2}{e^{-x}+1}-\bruch{2e^{-x}+2}{e^{x}+1}+1[/mm]
> >
> > diesen ganzen Teil verstehe ich nicht; warum ändert sich
> > das Vorzeichen des Exponenten im Nenner auf einmal?
>
> Tipfehler? Im Zähler des rechten Bruchs müßte [mm]e^{x}[/mm]
> statt [mm]e^{-x}[/mm] stehen. Damit
> wäre der Schritt durch
Ja, Tippfehler; das Minus muss weg
= [mm]\bruch{2}{e^{x}+1}-\bruch{2e^{-x}+2}{e^{x}+1}+1[/mm]
>
> [mm]2=\frac {2e^{x} + 2} { e^x+1}[/mm]
>
> begründet.
>
> >
> > = [mm]\bruch{2-2e^{x}-2}{e^{x}+1}+1[/mm]
>
> >
> > dieser Teil ist klar; ist ja der gleiche Nenner und deshalb
> > können die Brüche zusammengezogen werden.
>
> Diesen Schritt verstehe nun ich nicht. Die Nenner sind
> nicht gleich!
wenn der Tippfehler raus ist, heißen beide Nenner : [mm] e^{x} [/mm] + 1; dann sind sie gleich und ich kann addieren, korrekt?
>
> >
> > = [mm]-\bruch{2e^{x}}{1+e^{x}}-1[/mm]
> >
> > = punktsymmetrisch
> >
> > Ich verstehe die Umformungen nicht.
>
> Ich auch nicht.
>
> >
> > Ich würde mich freuen, wenn mir das einer erklären kann.
>
> Teilweise falsche Umformungen kann keiner erklären.
>
> Um die Punktsymmetrie nachzuweisen, vereinfache die
> Gleichung
>
> [mm]-f(x)=f(-x)[/mm]
>
> solange, bis Du siehst, daß sie stimmt. Das sollte nicht
> allzu schwierig sein. Dabei kannst Du ruhig die
> ursprüngliche Definition von [mm]f(x)[/mm] nehmen.
>
> Grüße,
> Wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:46 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Siehe meine Korrektur zur Musterlösung.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:41 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen Sie die Funktion auf Monotonie, Beschränktheit
> und Symmetrie.
>
> Hallo Leute,
>
> gegeben ist folgende Funktion:
>
> f(x) = [mm]\bruch{2e^{x}}{1+e^{x}}-1[/mm]
>
> Soweit, sogut.
>
> Im ersten Schritt der Musterlösung wird erstmal umgeformt:
>
>
> f(x) = [mm]\bruch{2e^{x}}{e^{x}*e^{-x}+e^{x}}-1[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{e^{-x}+1}-1[/mm]
>
> Meine erste Frage ist, wie komme ich auf den Term
> [mm]"\bruch{2e^{x}}{[u]e^{x}*e^{-x}[/u]+e^{x}}-1"[/mm] insbesondere auf den
> unterstrichenen Teil?
es ist [mm] $e^x*e^{-x}=e^{x-x}=e^0=1\,.$
[/mm]
> Wurde hier die 1 einfach durch [mm]\bruch{e^{x}}{e^{x}}[/mm] ersetzt
So könnte man das auch sagen!
> und der Nenner dann durch [mm]e^{-x}[/mm] auf den Zähler gezogen?
Vielleicht meinst Du das richtige (der Nenner des Nenners kann mit dem
ersten Zähler multipliziert werden: [mm] $\frac{a/b}{c/d}=\frac{ad}{bc}\,.$)
[/mm]
Ich seh's so (beim ersten [mm] $=\,$ [/mm] wird im Zähler [mm] $e^x$ [/mm] und auch im Nenner
[mm] $e^x$ [/mm] vorgeklammert):
[mm] $$\bruch{2e^{x}}{e^{x}*e^{-x}+e^{x}}-1=\frac{e^x}{e^x}*\frac{2}{e^{-x}+1}-1=\frac{2}{e^{-x}+1}-1\,.$$
[/mm]
Den Rest hatte Wolfgang ja schon erklärt, denke ich!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:45 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
> Ausgehend davon wird dann weiter umgeformt:
>
> [mm]f(x)=\bruch{2}{e^{-x}+1}-1[/mm] = [mm]\bruch{2}{e^{-x}+1}[u]-2+1[/u][/mm]
>
> den unterstrichenen Teil verstehe ich nicht
Du verstehst nicht, dass [mm] $-2+1=-1\,$ [/mm] ist?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:33 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo,
> Untersuchen Sie die Funktion auf Monotonie, Beschränktheit
> und Symmetrie.
>
> Hallo Leute,
>
> gegeben ist folgende Funktion:
>
> f(x) = [mm]\bruch{2e^{x}}{1+e^{x}}-1[/mm]
>
> Soweit, sogut.
>
> Im ersten Schritt der Musterlösung wird erstmal umgeformt:
>
>
> f(x) = [mm]\bruch{2e^{x}}{e^{x}*e^{-x}+e^{x}}-1[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{e^{-x}+1}-1[/mm]
>
> Meine erste Frage ist, wie komme ich auf den Term
> [mm]"\bruch{2e^{x}}{[u]e^{x}*e^{-x}[/u]+e^{x}}-1"[/mm] insbesondere auf den
> unterstrichenen Teil?
>
> Wurde hier die 1 einfach durch [mm]\bruch{e^{x}}{e^{x}}[/mm] ersetzt
> und der Nenner dann durch [mm]e^{-x}[/mm] auf den Zähler gezogen?
>
> Die Musterlösung sagt dann ferner (bei der Monotonie),
> dass f durch c=1 beschränkt ist. Warum und wo sehe ich
> das?
Dadurch ist allerdings noch nicht die Monotonie gezeigt. In der Regel läuft der ganze Spaß auf die erste Ableitung hinaus.
Warum in der Musterlösung die Beschränktheit gezeigt wurde ist mir ein bisschen unklar...
>
> Um zu zeigen, dass eine Punktsymmetrie vorliegt, wird
> gezeigt, dass f(-x) = -f(x); das ist mir klar. Allerdings
> sehe ich den Weg dorthin nicht. Es wird gesagt, dass
> bereits gezeigt wurde, dass f(x) = [mm]\bruch{2}{e^{-x}+1}-1[/mm]
>
> Ausgehend davon wird dann weiter umgeformt:
>
> [mm]f(x)=\bruch{2}{e^{-x}+1}-1[/mm] = [mm]\bruch{2}{e^{-x}+1}[u]-2+1[/u][/mm]
>
> den unterstrichenen Teil verstehe ich nicht
>
> = [mm]\bruch{2}{e^{-x}+1}-\bruch{2e^{-x}+2}{e^{x}+1}+1[/mm]
>
> diesen ganzen Teil verstehe ich nicht; warum ändert sich
> das Vorzeichen des Exponenten im Nenner auf einmal?
>
> = [mm]\bruch{2-2e^{x}-2}{e^{x}+1}+1[/mm]
>
> dieser Teil ist klar; ist ja der gleiche Nenner und deshalb
> können die Brüche zusammengezogen werden.
>
> = [mm]-\bruch{2e^{x}}{1+e^{x}}-1[/mm]
>
> = punktsymmetrisch
>
> Ich verstehe die Umformungen nicht.
>
> Ich würde mich freuen, wenn mir das einer erklären kann.
>
> Besten Dank vorab!
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:44 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Um Punktsymmetrie nachzuweisen, sollte die Gleichungskette der Musterlösung $f(x)=-f(-x)$ zeigen. Aber Rechenfehler führen zu [mm] $f(x)=-f(x)\,.$ [/mm] Demnach wäre der Graph von $f$ nicht punktsymmetrisch, sondern symmetrisch zur y-Achse.
> Um zu zeigen, dass eine Punktsymmetrie vorliegt, wird
> gezeigt, dass f(-x) = -f(x); das ist mir klar. Allerdings
> sehe ich den Weg dorthin nicht. Es wird gesagt, dass
> bereits gezeigt wurde, dass f(x) = [mm]\bruch{2}{e^{-x}+1}-1[/mm]
>
> Ausgehend davon wird dann weiter umgeformt:
>
> [mm]f(x)=\bruch{2}{e^{-x}+1}-1[/mm] = [mm]\bruch{2}{e^{-x}+1}[u]-2+1[/u][/mm]
>
> den unterstrichenen Teil verstehe ich nicht
>
> = [mm]\bruch{2}{e^{-x}+1}-\bruch{2e^{-x}+2}{e^{x}+1}+1[/mm]
>
> diesen ganzen Teil verstehe ich nicht; warum ändert sich
> das Vorzeichen des Exponenten im Nenner auf einmal?
hier steckt der Fehler. Wir haben bereits:
$f(x) = [mm] \frac {2e^{x}} {e^{x}+1}-1$
[/mm]
[mm] $=\frac [/mm] 2 [mm] {e^{-x} + 1} [/mm] - 1$
$= [mm] \frac [/mm] 2 [mm] {e^{-x} + 1} [/mm] - 2+1$
$= [mm] \frac [/mm] 2 [mm] {e^{-x}+1} [/mm] - [mm] \frac {2e^{-x} + 2} {e^{-x} + 1} [/mm] + 1$ Korrektur
$= [mm] \frac {2-2e^{-x}- 2} {e^{-x}+1} [/mm] + 1$
$= - [mm] \frac {2e^{-x}} {e^{-x}+1}+1$
[/mm]
[mm] $=-f(-x)\,.$
[/mm]
Grüße,
Wolfgang
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