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| Aufgabe | Lösen Sie die folgenden Gleichungen in reellen Zahlen:
a) [mm] e^{x} [/mm] + [mm] 2e^{-x} [/mm] = 3.
b) [mm] ln(\wurzel{c}) [/mm] + [mm] \bruch{3}{2}ln(x) [/mm] = ln(2x) |
Bei mir haperts irgendwie schon am Anfang, ich will mal wissen, stimmt das so?
a)
[mm] e^{x} [/mm] + [mm] 2e^{-x} [/mm] = 3 |ln()
x + ln(2) * (-x) = ln(3)
[mm] \bruch{1 - ln(2)}{ln(3)} [/mm] * x = 1
x = [mm] \bruch{ln(3)}{1 - ln(2)}
[/mm]
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Hallo johnrambo!
Wenn Du eine Gleichung logarithmierst, musst Du das jeweils mit der gesamten Seite machen.
Bedenke, dass gilt:
[mm] $$e^{-x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{e^x}$$
[/mm]
Ersetze nun $z \ := \ [mm] e^x$ [/mm] und multipliziere die Gleichung mit $z_$ .
Damit hast Du dann eine quadratische Gleichung für $z_$ .
Gruß vom
Roadrunner
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Also ich habs jetzt etwas anders gemacht:
[mm] e^{x} [/mm] + [mm] 2e^{-x} [/mm] = 3
[mm] e^{x} [/mm] + [mm] \bruch{2}{e^{x}} [/mm] = 3 |* [mm] e^{x}
[/mm]
[mm] e^{2x} [/mm] + 2 = [mm] 3*e^{x}
[/mm]
z = [mm] e^{x}
[/mm]
[mm] z^2 [/mm] - 3z + 2 = 0
abc-Formel =>
z = 2 oder z = 1 =>
[mm] e^{x} [/mm] = 2 oder [mm] e^{x} [/mm] = 1
Und jetzt logarithmieren, damit ich nun das Ergebnis hab?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Mi 25.08.2010 | | Autor: | abakus |
> Also ich habs jetzt etwas anders gemacht:
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> [mm]e^{x}[/mm] + [mm]2e^{-x}[/mm] = 3
>
> [mm]e^{x}[/mm] + [mm]\bruch{2}{e^{x}}[/mm] = 3 |* [mm]e^{x}[/mm]
>
> [mm]e^{2x}[/mm] + 2 = [mm]3*e^{x}[/mm]
>
> z = [mm]e^{x}[/mm]
>
> [mm]z^2[/mm] - 3z + 2 = 0
>
> abc-Formel =>
>
> z = 2 oder z = 1 =>
>
> [mm]e^{x}[/mm] = 2 oder [mm]e^{x}[/mm] = 1
>
> Und jetzt logarithmieren, damit ich nun das Ergebnis hab?
So isses.
Gruß Abakus
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Hallo john_rambo!
Wende hier folgende  Logarithmengesetze zum Zusammenfassen an:
[mm] $$m*\log(x) [/mm] \ = \ [mm] \log\left(x^m\right)$$
[/mm]
[mm] $$\log(x)+\log(y) [/mm] \ = \ [mm] \log(x*y)$$
[/mm]
[mm] $$\log(x)-\log(y) [/mm] \ = \ [mm] \log\left(\bruch{x}{y}\right)$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Und jetzt zur b)
[mm] ln(\wurzel{x}) [/mm] + 3/2 * ln(x) = ln(2x)
Regel: m * log(x) = log [mm] (x^{m})
[/mm]
[mm] \bruch{3}{2}ln(x) [/mm] = [mm] ln(x^{\bruch{3}{2}})
[/mm]
Regel: log(x) + log(y) = log(x * y)
[mm] ln(\wurzel{x}) [/mm] + [mm] ln(x^{\bruch{3}{2}}) [/mm] = [mm] ln(\wurzel{x} [/mm] * [mm] x^{\bruch{3}{2}}) [/mm] = [mm] ln(x^2)
[/mm]
[mm] ln(x^2) [/mm] = ln(2x)
[mm] ln(x^2) [/mm] - ln(2x) = 0
Regel: log(x) - log(y) = log(x/y)
=> [mm] ln(\bruch{x^2}{2x}) [/mm] = [mm] ln(\bruch{x}{2}) [/mm] = 0 =>
ln(x) - ln(2) = 0
ln(x) = ln(2)
[mm] e^x [/mm] = [mm] e^2
[/mm]
Stimmt das ?
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Hallo john_rambo!
Das stimmt soweit. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber was ist nun $x_$ ?
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo!
> x = 2 ?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Mi 25.08.2010 | | Autor: | abakus |
> Und jetzt zur b)
>
> [mm]ln(\wurzel{x})[/mm] + 3/2 * ln(x) = ln(2x)
>
> Regel: m * log(x) = log [mm](x^{m})[/mm]
>
> [mm]\bruch{3}{2}ln(x)[/mm] = [mm]ln(x^{\bruch{3}{2}})[/mm]
>
> Regel: log(x) + log(y) = log(x * y)
>
> [mm]ln(\wurzel{x})[/mm] + [mm]ln(x^{\bruch{3}{2}})[/mm] = [mm]ln(\wurzel{x}[/mm] *
> [mm]x^{\bruch{3}{2}})[/mm] = [mm]ln(x^2)[/mm]
>
> [mm]ln(x^2)[/mm] = ln(2x)
>
> [mm]ln(x^2)[/mm] - ln(2x) = 0
>
> Regel: log(x) - log(y) = log(x/y)
>
> => [mm]ln(\bruch{x^2}{2x})[/mm] = [mm]ln(\bruch{x}{2})[/mm] = 0 =>
>
> ln(x) - ln(2) = 0
> ln(x) = ln(2)
> [mm]e^x[/mm] = [mm]e^2[/mm]
>
> Stimmt das ?
Zufälligerweise doch.
Du hast dir zwar gerade selbst eine mögliche Lösung abschossen, denn
aus [mm] ln(x^2) [/mm] = ln(2x) folgt (durch beidseitiges "e-hoch-nehmen")
[mm] x^2=2x [/mm] mit den beiden möglichen Lösungen x=0 und x=2.
Deine Nachlässigkeit blieb aber ohne Folgen, weil ln(x) für x=0 gar nicht definiert ist.
Gruß Abakus
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