Exponentialgleichungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:40 Mi 10.06.2009 | | Autor: | lalalove |
Hallo :D
Ich hab hier paar Exponentialgleichungen gelöst.
Könnt ihr bitte schauen ob ich auch richtig gelöst habe?
Danke!
a)
[mm] 5^{x-4} [/mm] = [mm] 3^{2x}
[/mm]
[mm] lg(5^{x-4} [/mm] ) = [mm] lg(3^{2x})
[/mm]
(x-4) * lg(5) = (2x) * lg(3) ||:lg(5)
x-4 = [mm] \bruch{(2x) * lg(3)}{lg(5)} [/mm] || : 2x
[mm] \bruch{x-4}{2x} [/mm] = [mm] \bruch{(2x) * lg(3)}{lg(5)}
[/mm]
x - 2x = [mm] \bruch{lg(3)}{lg(5)}
[/mm]
-x = 0,682 || : (-1)
x = -0,68
b)
[mm] 40^{2x-1} [/mm] = [mm] 30^{x}
[/mm]
[mm] lg(40^{2x-1} [/mm] ) = [mm] lg(30^{x})
[/mm]
(2x-1) * lg(40) = (x) * lg(30) ||: lg(40) : (x)
[mm] \bruch{2x-1}{x} [/mm] = [mm] \bruch{lg(30)}{lg(40}
[/mm]
x -1 = [mm] \bruch{lg(30)}{lg(40} [/mm] || + 1
x= [mm] \bruch{lg(30)}{lg(40} [/mm] + 1
x= 1,92
SO richtig beide aufgaben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 Mi 10.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Hallo :D
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> Ich hab hier paar Exponentialgleichungen gelöst.
>
> Könnt ihr bitte schauen ob ich auch richtig gelöst habe?
>
> Danke!
>
> a)
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> [mm]5^{x-4}[/mm] = [mm]3^{2x}[/mm]
>
> [mm]lg(5^{x-4}[/mm] ) = [mm]lg(3^{2x})[/mm]
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> (x-4) * lg(5) = (2x) * lg(3) ||:lg(5)
>
> x-4 = [mm]\bruch{(2x) * lg(3)}{lg(5)}[/mm] || : 2x
Bis hierher ist alles richtig. Nun greife ich allerdings mal ein. Bitte nicht durch $x$ teilen, sonst musst Du [mm] $x\neq [/mm] 0$ fordern. Wir rechnen auf beiden Seiten $+4$ und [mm] $-2x\frac{\ln(3)}{\ln(5)}$. [/mm] Anschliessend klammerst Du auf der linken Seite Dein $x$ aus.
[mm] $x\left(1-2\frac{\ln(3)}{\ln(5)}\right)=4$
[/mm]
Nun vereinfachst Du die Klammer auf der linken Seite mithilfe der Rechenregeln fuer den Logarithmus:
[mm] $1-2\frac{\ln(3)}{\ln(5)}=\frac{\ln(5)-2\ln(3)}{\ln(5)}=\frac{\ln(5)-\ln(3^2)}{\ln(5)}=\frac{\ln(\frac{5}{3^2})}{\ln(5)}$
[/mm]
Wir erhalten also
[mm] $x\left(\frac{\ln(\frac{5}{3^2})}{\ln(5)}\right)=x\left(1-2\frac{\ln(3)}{\ln(5)}\right)=4$
[/mm]
Also multipliziere mit [mm] $\frac{\ln(5)}{\ln(\frac{5}{3^2})}$. [/mm] Du erhaelst
[mm] $x=4\frac{\ln(5)}{\ln(\frac{5}{3^2})}=\frac{\ln(5^4)}{\ln(\frac{5}{3^2})}$
[/mm]
> [mm]\bruch{x-4}{2x}[/mm] = [mm]\bruch{(2x) * lg(3)}{lg(5)}[/mm]
>
> x - 2x = [mm]\bruch{lg(3)}{lg(5)}[/mm]
>
> -x = 0,682 || : (-1)
>
> x = -0,68
>
>
> b)
> [mm]40^{2x-1}[/mm] = [mm]30^{x}[/mm]
> [mm]lg(40^{2x-1}[/mm] ) = [mm]lg(30^{x})[/mm]
>
> (2x-1) * lg(40) = (x) * lg(30) ||: lg(40) : (x)
Auch hier harke ich wieder ein. Bitte nicht durch $x$ teilen. Rechne auf beiden Seiten [mm] $-x\ln(30)$, $+\ln(40)$ [/mm] und klammere $x$ anschliessend auf der linken Seite aus
[mm] $x\left(2\ln(40)-\ln(30)\right)=\ln(40)$
[/mm]
Nun vereinfache wieder den Klammerausdruck mit den Rechenregeln fuer den Logarithmus
[mm] $2\ln(40)-\ln(30)=\ln(40^2)-\ln(30)=\ln(\frac{40^2}{30})$
[/mm]
Wir erhalten daraus
[mm] $x\ln(\frac{40^2}{30})=x\left(2\ln(40)-\ln(30)\right)=\ln(40)$
[/mm]
Nun teile auf beiden Seiten durch [mm] $\ln(\frac{40^2}{30})$
[/mm]
[mm] $x=\frac{\ln(40)}{\ln(\frac{40^2}{30})}$
[/mm]
> [mm]\bruch{2x-1}{x}[/mm] = [mm]\bruch{lg(30)}{lg(40}[/mm]
>
> x -1 = [mm]\bruch{lg(30)}{lg(40}[/mm] || + 1
>
> x= [mm]\bruch{lg(30)}{lg(40}[/mm] + 1
>
> x= 1,92
>
>
> SO richtig beide aufgaben?
>
>
Die allgemeine Vorgehensweise ist also:
1. Alle Terme mit $x$ auf die eine Seite, alle ohne $x$ auf die andere Seite
2. Klammere $x$ aus
3. Vereinfache den Klammerausdruck
4. Teile beide Seiten Deiner Gleichung durch den vereinfachten Klammerausdruck
Gruss Denny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Mi 10.06.2009 | | Autor: | lalalove |
> [mm]x\left(1-2\frac{\ln(3)}{\ln(5)}\right)=4[/mm]
>
> Nun vereinfachst Du die Klammer auf der linken Seite
> mithilfe der Rechenregeln fuer den Logarithmus:
>
> [mm]1-2\frac{\ln(3)}{\ln(5)}=\frac{\ln(5)-2\ln(3)}{\ln(5)}=\frac{\ln(5)-\ln(3^2)}{\ln(5)}=\frac{\ln(\frac{5}{3^2})}{\ln(5)}[/mm]
>
NAch welcher Rechenregel geht dies denn?
..Ich find die Regel hierzu iregndwie nicht..
> Wir erhalten also
>
> [mm]x\left(\frac{\ln(\frac{5}{3^2})}{\ln(5)}\right)=x\left(1-2\frac{\ln(3)}{\ln(5)}\right)=4[/mm]
Vielen Dank =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Mi 10.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
>
> > [mm]x\left(1-2\frac{\ln(3)}{\ln(5)}\right)=4[/mm]
> >
> > Nun vereinfachst Du die Klammer auf der linken Seite
> > mithilfe der Rechenregeln fuer den Logarithmus:
> >
> >
> [mm]1-2\frac{\ln(3)}{\ln(5)}=\frac{\ln(5)-2\ln(3)}{\ln(5)}=\frac{\ln(5)-\ln(3^2)}{\ln(5)}=\frac{\ln(\frac{5}{3^2})}{\ln(5)}[/mm]
> >
>
> NAch welcher Rechenregel geht dies denn?
> ..Ich find die Regel hierzu iregndwie nicht..
1. In der ersten Gleichung wurde [mm] $1=\frac{\ln(5)}{\ln(5)}$ [/mm] verwendet
2. In der zweiten Gleichung wurde [mm] $r\ln(x)=\ln(x^r)$ [/mm] für $r$ reell und $x$ reell mit $x>0$ verwendet.
3. In der dritten Gleichung wurde [mm] $\ln(x)-\ln(y)=\ln(\frac{x}{y})$ [/mm] verwendet, wobei $x,y$ reell mit $x,y>0$
Überings gibt es noch weitere Rechenregeln des Logarithmus, als die in 2. und 3. erwähnten. z.B. gilt auch [mm] $\ln(x\cdot y)=\ln(x)+\ln(y)$, [/mm] für reelle $x,y$ mit $x,y>0$
> > Wir erhalten also
> >
> >
> [mm]x\left(\frac{\ln(\frac{5}{3^2})}{\ln(5)}\right)=x\left(1-2\frac{\ln(3)}{\ln(5)}\right)=4[/mm]
>
> Vielen Dank =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Do 11.06.2009 | | Autor: | lalalove |
> [mm]1-2\frac{\ln(3)}{\ln(5)}=\frac{\ln(5)-2\ln(3)}{\ln(5)}=\frac{\ln(5)-\ln(3^2)}{\ln(5)}=\frac{\ln(\frac{5}{3^2})}{\ln(5)}[/mm]
wie kommt man jetzt hier darauf, das oben ein lg5 noch steht?
also im zweiten schritt hier,..
wir haben im nenner und im zähler lg 5
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> >
> [mm]1-2\frac{\ln(3)}{\ln(5)}=\frac{\ln(5)-2\ln(3)}{\ln(5)}=\frac{\ln(5)-\ln(3^2)}{\ln(5)}=\frac{\ln(\frac{5}{3^2})}{\ln(5)}[/mm]
>
>
> wie kommt man jetzt hier darauf, das oben ein lg5 noch
> steht?
>
> also im zweiten schritt hier,..
>
> wir haben im nenner und im zähler lg 5
1 = [mm] \bruch{ln(5)}{ln(5)}
[/mm]
Also hat man: [mm] 1-2\bruch{ln(3)}{ln(5)} [/mm] = [mm] \bruch{ln(5)}{ln(5)} [/mm] - [mm] 2\bruch{ln(3)}{ln(5)} [/mm] = [mm] \bruch{ln(5)-ln(3^2)}{ln(5)}
[/mm]
Gruß Sebastian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:21 Do 11.06.2009 | | Autor: | lalalove |
> > b)
> > [mm]40^{2x-1}[/mm] = [mm]30^{x}[/mm]
> > [mm]lg(40^{2x-1}[/mm] ) = [mm]lg(30^{x})[/mm]
> >
> > (2x-1) * lg(40) = (x) * lg(30) ||: lg(40) : (x)
>
> Auch hier harke ich wieder ein. Bitte nicht durch [mm]x[/mm] teilen.
> Rechne auf beiden Seiten [mm]-x\ln(30)[/mm], [mm]+\ln(40)[/mm]
warum darf man denn hier + und - auf beiden seiten machen, obwohl zwischen den Zahlen doch ein * ist?
wenn man * hat, dann teilt man doch oder nicht?
..macht man hier denn nicht eher:
auf beiden seiten durch lg(30) und durch (2x-1) ?
dann hat man:
[mm] \bruch{lg(40)}{lg(30)} [/mm] = [mm] \bruch{x}{2x-1}
[/mm]
(ich teile hier ja nicht nur durch x, sondern durch (2x-1))
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Hallo,
wenn du diese Division machst, stehst du vor 2 Problemen:
1. Du kannst nicht sicherstellen, dass das, wodurch du teilst, nicht 0 sein kann. In deinem Beispiel dividierst du durch 2x-1, aber für x darfst du ja zunächst mal alle beliebigen Zahlen einsetzen, also auch die 0,5. Das führt dann aber zu absurden Ergebnissen. Vereinfachtes Beispiel:
x = 2*x |:x
1 = 2
Folgerung: keine Lösung
Tatsächlich ist aber x=0 eine Lösung dieser Gleichung (die einzige). Das kannst du berechnen, indem du -x rechnest, dann steht da: 0 = x
Oder:
2x = 1 | *x
[mm] 2x^2 [/mm] = x | -x
[mm] 2x^2-x [/mm] = 0 | ausklammern
x(2x-1)=0
Hat zwei Lösungen: x=0 oder x=0,5
Offensichtlich hat die erste Gleichung aber nur die Lösung 0,5 (einfache Division durch 2)
Deswegen musst du immer gut aufpassen, wenn du eine Multiplikation oder eine Division mit einem Term machst, in dem die Variable auftaucht. Manchmal ist das schon nötig, aber dann musst du genau den Fall, dass das 0 werden kann ausschließen.
2. In deinem speziellen Fall kommt noch dazu, dass dein Weg ja auch nicht unbedingt zielgerichtet ist. Denn wie willst du jetzt aus diesem Bruch dein x ermitteln?
Ziel sollte es immer sein, dass deine Variable nicht mehr im Nenner steht und dass es möglichst "sortiert" da steht. Wie du sortierst, hängt davon ab, wie deine Variable vorkommt:
- kommt nur x vor, dann alles mit x auf die eine Seite, alle Zahlen auf die andere
- kommt auch noch [mm] x^2 [/mm] vor, dann alles auf eine Seite, dann pq-Formel verwenden
- in anderen Beispielen sind ähnliche Vorgehensweisen sinnvoll (dann noch mit zusätzlichen Sachen wie ausklammern oder substituieren oder so)
Und auch noch was konkretes zu deiner Gleichung:
(2x-1) * lg(40) = (x) * lg(30)
Das kann ich (mit Taschenrechner, gerundet) auch so schreiben:
(2x-1)*1,6 = 1,48*x | klammern auflösen
3,2x - 1,6 = 1,48x
Würdest du jetzt immer noch auf die Idee kommen, da durch x oder ähnliches zu dividieren? Hoffentlich nicht - und was anderes steht in deiner Gleichung ja nicht. Nur schreibt man natürlich nicht diese gerundeten Werte auf, sondern lässt die "krummen" Zahlen als lg(30) usw. stehen.
Vielleicht wird dir damit etwas klarer, was dir die anderen auch schon gesagt haben  .
Gruß,
weightgainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Do 11.06.2009 | | Autor: | lalalove |
[mm] 6^{-x+2} [/mm] = [mm] 5^{2x-3}
[/mm]
[mm] lg(6^{-x+2}) [/mm] = [mm] lg(5^{2x-3})
[/mm]
(-x+2) * lg(6) = (2x-3) * lg(5) || - (2x-3)*lg(5) + lg (6)
(-x+2) - (2x-3)*lg(5) = lg (6)
??
wie klammer ich denn jetzt x aus? ..zwei klammern vorhanden..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 Do 11.06.2009 | | Autor: | abakus |
> [mm]6^{-x+2}[/mm] = [mm]5^{2x-3}[/mm]
>
> [mm]lg(6^{-x+2})[/mm] = [mm]lg(5^{2x-3})[/mm]
>
> (-x+2) * lg(6) = (2x-3) * lg(5) || - (2x-3)*lg(5) + lg
> (6)
>
> (-x+2) - (2x-3)*lg(5) = lg (6)
Hallo, nach diesem (sinnlosen) Rechenbefehl würde die Gleicung
(-x+2)*lg(6) - (2x-3)*lg(5) + lg(6) = lg (6)
bzw.
(-x+2+1)*lg(6) - (2x-3)*lg(5) =lg(6) lauten.
Ich denke, du magst den Weg über Potenzgesetze mehr?
[mm] 6^{-x+2} [/mm] = [mm] 5^{2x-3} [/mm] ergibt
[mm] \bruch{6^2}{6^x}=\bruch{5^{2x}}{5^3}
[/mm]
bzw.
[mm] \bruch{36}{6^x}=\bruch{25^{x}}{125}
[/mm]
[mm] 36*125=(6*25)^x
[/mm]
Gruß Abakus
>
>
> ??
>
> wie klammer ich denn jetzt x aus? ..zwei klammern
> vorhanden..
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Do 11.06.2009 | | Autor: | lalalove |
> [mm]36*125=(6*25)^x[/mm]
lg(4500) = lg [mm] (6*25)^{x}
[/mm]
wie rechne ich denn jetz auf der rechten Seite?
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> > [mm]36*125=(6*25)^x[/mm]
>
> lg(4500) = lg [mm](6*25)^{x}[/mm]
>
> wie rechne ich denn jetz auf der rechten Seite?
>
So: lg(4500) = x*lg (150) (Da gibt es ein diesbezügliches Logarithmusgesetz),
dann [mm] \bruch{lg(4500)}{lg(150)} [/mm] = x, den Rest macht der Taschenrechner
Gruß Sebastian
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Do 11.06.2009 | | Autor: | lalalove |
[mm] 8*3^{-x+3} [/mm] = [mm] 5*2^{2x+1}
[/mm]
8* [mm] (\bruch{3^{3}}{3^{x}}) [/mm] = 5* [mm] (\bruch{2^{2x}}{2^{1}})
[/mm]
und dann kann ich die 8 mit 3³ multiplzieren oder?
..und auf der linken seite weiß ich dann auch voran..
bis hier hin richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Do 11.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
> [mm]8*3^{-x+3}[/mm] = [mm]5*2^{2x+1}[/mm]
>
> 8* [mm](\bruch{3^{3}}{3^{x}})[/mm] = 5* [mm](\bruch{2^{2x}}{2^{1}})[/mm]
>
>
> und dann kann ich die 8 mit 3³ multiplzieren oder?
> ..und auf der linken seite weiß ich dann auch voran..
Kannst du:
[mm] 8*\left(\bruch{3^{3}}{3^{x}}\right)=5\left(\bruch{2^{2x}}{2^{1}}\right)
[/mm]
[mm] \red{\gdw}\bruch{8*3^{3}}{3^{x}}=\bruch{2^{2x}}{\bruch{1}{5}*2^{1}}
[/mm]
[mm] \red{\gdw}\bruch{72}{3^{x}}=\bruch{2^{2}*2^{x}}{\bruch{2}{5}}
[/mm]
[mm] \red{\gdw}\bruch{72}{3^{x}}=\bruch{4*2^{x}}{\bruch{2}{5}}
[/mm]
[mm] \red{\gdw}\bruch{72}{3^{x}}=\bruch{2^{x}}{\bruch{2}{20}}
[/mm]
Ach ja: Bei Gleichungen bitte den Äquivalenzpfeil nicht vergessen, dann ist es auch formal korrekt.
>
> bis hier hin richtig?
Yep
>
>
Marius
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