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| Aufgabe | Für welche z [mm] \in \IC [/mm] konvergiert die Reihe der Exponentialfunktion exp(z) = [mm] $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac {z^n}{n!}$
[/mm]
(entscheidend ist die Begründung) ?
a) Wir setzen [mm] $a_n(z):=\frac{z^n}{n!}$. [/mm] Wie verhält sich die Folge der Beträge [mm] $|a_n(z)|$, [/mm] wenn $n$ von
0 beginnend die natürlichen Zahlen durchläuft ?
b) Welcher Summand ist der Betragsgrößte ? Betrachten Sie $z = - 30$ und $z = +20$. Wie
groß ist dieser Summand ? Was fällt auf ? |
Hallo Forum,
ich sitze gerade an dieser Aufgabe und bräuchte Hilfe.
Zur Aufgabe vor a (also a-1):
Mit dem Quotientenkriterium konnte ich schnell feststellen, dass die Reihe für alle $z$ konvergiert, da:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \frac {|a_{n+1}|} {|a_n|} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac [/mm] {|z|} {|n+1|} = 0 < 1 $ da $z$ nicht größer als [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] sein kann.
Kann man das so stehen lassen?
Zur a)
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}| \frac {z^n} [/mm] {n!}| = [mm] |\frac [/mm] {z} {1} [mm] \cdot \frac [/mm] {z} [mm] {2}\cdot [/mm] ... [mm] \cdot \frac [/mm] {z} {n}|$ konvergiert auch da $z$ nicht größer als [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] sein kann und es somit auch Multiplikatoren $<1$ gibt.
Oder würdet ihr das anderst zeigen?
Zur b)
Durch Zufall habe ich herausgefunden, dass der größte Summand bei $z=-30$ [mm] $a_{29}$ [/mm] und [mm] $a_{30}$ [/mm] ist, beide haben zudem den gleichen Betrag.
Wenn ich oben bei der Formel für das Quotientenkriterium dann für $n$ $28$ bzw $29$ einsetze und für $z -30$ erhalte ich den Wert 1.
Genauso ist es für $z=20$ dort erhalte ich für $n=18;19$ auch 1.
Aber warum ist das so? Zufall?
Ich habe mir gedacht, dass hier (wäre es eine Funktion) die Steigung am geringsten also $=0$ ist. Somit wäre dies eine Extremstelle.
Bei der Größe der Summanden ist mir leider noch nichts aufgefallen.
Für $z=-30$ erhalte ich als größten Betrag 776207020879.7283
Und für $z=20$ erhalte ich als größten Betrag 43099804.12182177
Vielen herzlichen Dank an jeden der sich die Mühe macht mir zu helfen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Do 26.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu 0) eigentlich sieht man sich für die Konvergenz nur die Koeffizienten an.
du solltest schreiben,: für jedes feste |z| konvergiert [mm] \frac [/mm] {|z|} {|n+1|} gegen 0
in a dagegen musst du zeigen, dass für jedes feste |z| [mm] \frac {|z|^n} [/mm] {n!} gegen 0 geht also ein von |z| und [mm] \epsilon [/mm] abhängiges [mm] N_0 [/mm] angeben, ab dem es [mm] <\epsilon [/mm] ist , es sei denn ihr habt schon gezeigt, dass [mm] k^n/n! [/mm] gegen 0 konvergiert für feste k. wenn du dann [mm] \epsilon [/mm]
allerdings hast du schon in 0 gezeigt, dass die summe konvergiert, das kann sie nur, wenn die summanden ne nullfolge bilden, also ist hier nicht nach der Konvergenz gefragt, sondern nach dem Verhalten, die Dinger wachsen erst und fangen erst irgendwann an zu fallen! du suchst also den punkt wo es von [mm] a_na_{n+1} [/mm] umschlägt (abhängig von |z| untersuch es für ganzzahlige z
allerdings sollst du angeben, wie sich die Folge von n= 0 an verhält (für festes z) das hilft dann bei b)
Gruss leduart
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Danke,
die Folge müsste dann ja solange zunehmen bis [mm] $z\le [/mm] n$, da ab diesem Punkt gilt: [mm] $\frac [/mm] {z} [mm] {n}\le [/mm] 1$.
Was für die Folge mit $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}| \frac {z^n} [/mm] {n!}| = [mm] |\frac [/mm] {z} {1} [mm] \cdot \frac [/mm] {z} [mm] {2}\cdot [/mm] ... [mm] \cdot \frac [/mm] {z} {n}| $ ja bedeuten würde dass sie wieder abnimmt da sie ab diesem bestimmten $n$ mit Zahlen kleiner als 1 multipliziert würde.
Somit wäre auch der betragsgrößte Summand genau bei dem $n$ an dem gilt [mm] $z\le [/mm] n$. Geht das gedanklich in die richtige Richtung?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Do 26.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, jetz formuliere noch schön und du hast es. und lies Aufgaben immer genau!
gruss leduart
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