Exponentialverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:57 So 03.01.2010 | | Autor: | karl64 |
| Aufgabe | Sei X Exponentialverteilt mit lamda > 0
Bestimme Erwartungswert und Varianz für
1. Y=2X
2. Y=exp(-X) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
1. dürfte ja sein:
E(Y) = [2x*f(x)] = 2*E(X)
[mm] E(Y^2)=[(2x)^2*f(x)]=4[x^2*f(x)]=4E(X^2)
[/mm]
Var(Y) = [mm] E(Y^2)-E(Y)^2 [/mm] = [mm] 4E(X^2)-(2*E(X))^2 [/mm] = [mm] 4*E(X^2)-E(X)^2=4*Var(X)
[/mm]
aber für das 2. fehlt mir jede Idee...
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Hallo karl64,
ich glaube hier wurde vor kurzem was ähnliches gefragt, aber ich kann es ja auch nochmal versuchen zu beantworten:
> Sei X Zufallsverteilt mit lamda > 0
> Bestimme Erwartungswert und Varianz für
> 1. Y=2X
> 2. Y=exp(-X)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> 1. dürfte ja sein:
>
> E(Y) = [2x*f(x)] = 2*E(X)
> [mm]E(Y^2)=[(2x)^2*f(x)]=4[x^2*f(x)]=4E(X^2)[/mm]
>
> Var(Y) = [mm]E(Y^2)-E(Y)^2[/mm] = [mm]4E(X^2)-(2*E(X))^2[/mm] =
> [mm]4*E(X^2)-E(X)^2=4*Var(X)[/mm]
Deine Rückführungen auf die Integralformel sind aufgrund der schon bewiesenen Linearität des Erwartungswertes nicht unbedingt notwendig:
E(Y) = E(2X) = 2*E(X).
[mm] E(Y^{2}) [/mm] = [mm] E((2X)^{2}) [/mm] = [mm] E(4*X^{2}) [/mm] = [mm] 4*E(X^{2}).
[/mm]
Zweierlei ist allerdings anzumerken: Auch wenn du komischerweise oben geschrieben hast: "X ist Zufallsverteilt" (?), meinst du wahrscheinlich, wenn ich das dem Titel richtig entnehme, dass X exponentialverteilt ist. Also bist du jetzt noch gar nicht fertig! Du musst die Ausdrücke noch mit [mm] \lambda [/mm] schreiben.
> aber für das 2. fehlt mir jede Idee...
Du hattest doch oben schon die Rückführung auf die Definition des Erwartungswerts gemacht! Genau das musst du jetzt hier machen.
E(Y) = E(exp(-X)) := [mm] \int_{-\infty}^{\infty}exp(-x)*f(x)dx,
[/mm]
wobei f die Zähldichte von X ist, also die Zähldichte der Exponentialverteilung. Das Integral musst du nun berechnen, ähnlich für die Varianz.
Grüße,
Stefan
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 14:57 So 03.01.2010 | | Autor: | karl64 |
Also:
c=lambda
zu a)
[mm]
E(Y)=2*E(X)=2/c
Var(Y)=4*Var(X)=(2/c)^2=4/(c^2)
[/mm]
zu b)
[mm]
E(Y)=[(-x)*f(x)] =[exp(-x)*c*exp(-cx)]=c[exp(-cx-x)] =c[exp(-(c+1)x)]
F=-exp(-(c+1)x)/c+1
E(Y) = c(0---1/(c+1))=c/c+1
[/mm]
ist das so richtig?
entsprechend:
[mm]
E(Y^2)=[exp(-2x)*f(x)] =[exp(-2x)*c*exp(-cx)]=c[exp(-cx-2x)] =c[exp(-(c+2)x)]
F=-exp(-(c+2)x)/c+2
E(Y^2) = c(0--1/(c+2))=c/c+2
Var(Y)=E(Y^2)-E(Y)2=c/(c+2)-c^2/(c+1)^2
[/mm]
bzw
[mm]
c/(c^3+4c^2+5c+2)
[/mm]
Und wieder merk ich, wie schnell ich das Integrieren verdränge :)
Wieso werden eigentlich manche Teile als Formeln erkannt und andere nicht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:18 So 03.01.2010 | | Autor: | karl64 |
Habe nun Fomelzeichen gesetzt, zudem e hoch durch exp ersetzt [mm] (e^x [/mm] hat Probleme in der darstellung bereitet?!...)
zudem 4 Vorzeichenfehler korrigiert, die Stammfunktion muss natürlich ein engatives Vorzeichen haben (Abtippfehler), im Ergebnis hat sich der Fehler durch einen weiteren Vorzeichenfehler aufgehoben, weshalb die Ergebnisse dennoch richtig waren.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:35 So 03.01.2010 | | Autor: | karl64 |
könnte Jemand den Wert für die Varianz bestätigen? kommt mir irgendwie komisch vor, das in ner Übungsaufgabe so ein "häßliches" Ergebnis herauskommt?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 05.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 So 03.01.2010 | | Autor: | karl64 |
| Aufgabe | | P(X=4) bei Exponentialverteiltem X mit lambda = 1/3 |
Vielen Dank soweit :)
Habe noch eine kurze (eigentlich Aufgabenunabhängige) Frage:
Habe gerade eine Lösung von meinem Tutor gesehen, die mich stutzig macht:
demnach gilt:
P(X=4)=1/3 * exp(-1/3*4)
Ist nicht im kontinuierlichen die Warscheinlichkeit für einen exakten Wert immer 0 ?!
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Hallo,
> P(X=4) bei Exponentialverteiltem X mit lambda = 1/3
> Vielen Dank soweit :)
>
> Habe noch eine kurze (eigentlich Aufgabenunabhängige)
> Frage:
>
> Habe gerade eine Lösung von meinem Tutor gesehen, die mich
> stutzig macht:
> demnach gilt:
> P(X=4)=1/3 * exp(-1/3*4)
>
> Ist nicht im kontinuierlichen die Warscheinlichkeit für
> einen exakten Wert immer 0 ?!
Wenn X stetig verteilt ist (was bei X exponentialverteilt der Fall sein dürfte), ist das eigentlich immer der Fall, dass die Wahrscheinlichkeit von endlich vielen Werten = 0 ist.
Vielleicht meinte dein Tutor ja den Wert der Zähldichte an der Stelle 4 ? Du hast aber recht, so wie es dasteht, ist es falsch.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:39 So 03.01.2010 | | Autor: | karl64 |
Du hast natürlich Recht, das ist der Wert der Dichte an der entsprechenden Stelle wird damit berechnet, jedoch hat der mit P(X=4) ja nichts zu tun. Ist also einfach ein Fehler in der Musterlösung, kommt ja schonmal vor :) - danke für die Gewissheit
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