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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:04 So 23.01.2011 | | Autor: | LuisA44 |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Die Beta-Verteilungen mit Dichten
[mm] f_{a,b}(x)=\bruch{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1}1_{[0,1]}(x), [/mm] a>0, b>0
bilden eine exponentielle Familie. |
Hallo Forum,
also habe diese Aufgabe versucht und bin mir nicht sicher, ob ichs richtig gemacht haben und wäre sehr dankbar über eure Meinungen:
[mm] f_{a,b}(x)=\bruch{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}*x^{a-1}*(1-x)^{b-1}*1_{[0,1]}(x)
[/mm]
[mm] =\bruch{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}*\bruch{1}{x}*x^{a}*\bruch{1}{1-x}*(1-x)^{b}*1_{[0,1]}(x)
[/mm]
[mm] =\bruch{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}*\bruch{1}{x(1-x)}*1_{[0,1]}(x)*e^{aln(x)+bln(1-x)}
[/mm]
Für eine exponentielle Familie gilt:
[mm] f_{a,b}(x)=c(a,b)g(x)e^{\eta(a,b)*T(x)}
[/mm]
Also:
[mm] c(a,b)=\bruch{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}
[/mm]
[mm] g(x)=\bruch{1}{x(1-x)}
[/mm]
[mm] \eta(a,b)=\vektor{a \\ b}
[/mm]
[mm] T(x)=\vektor{ln(x) \\ ln(1-x)}
[/mm]
Wäre über eure Hilfe sehr dankbar
Liebe Grüße
LuisA44
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 Mi 26.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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