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| Aufgabe | Es sei X eine mit Parameter [mm] $\lambda=3$ [/mm] exponentialverteilte Zufallsvariable. Bestimmen Sie den Erwartungswert E(Y), die Varianz Var(Y) und die Verteilungsfunktion [mm] F_Y(y):
[/mm]
(a) $Y = [mm] e^{-X}$
[/mm]
(b) $Y = [mm] 2\;X$ [/mm] |
Hallo zusammen,
hab die Aufgabe in einer meiner Übungen. Finde aber leider überhaupt keinen Ansatz. Kann mir jemand helfen?
Herzlichen Dank,
miniscout ![[clown]](/images/smileys/clown.gif "[clown]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:27 So 25.01.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
Bestimmung der Verteilungsfunktion fuer (a): Offenbar nimmt Y nur Werte an in (0,1). Sei 0<y<1. Dann ist
[mm] $F_Y(y)=P(Y\le y)=P(\exp(-X)\le y)=P(-X\le \log(y))=P(X\ge-\log(y))=\exp[3\log(y)]=y^3$.
[/mm]
Fuer [mm] $y\le [/mm] 0$ ist [mm] $F_Y(y)=0$ [/mm] und fuer [mm] $y\ge [/mm] 1$ ist [mm] $F_Y(y)=1$.
[/mm]
Berechne nun die Dichte [mm] $f_Y(y)=F_Y'(y)$ [/mm] und anschliessend Erwartungswert und Varianz.
vg Luis
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Hallo,
danke für deine Hilfe! Hab aber noch nicht so ganz verstanden, wie du diesen Schritt hier gehst:
[mm] $P(X\ge-\log(y))=\exp[3\log(y)]=y^3$
[/mm]
In meiner Formelsammlung steht:
$F(x) = 0$ für x<0 und
$F(x) = 1- [mm] exp(-\lambda [/mm] x)$
müsste es dann nicht
[mm] $P(X\ge-\log(y))=1- exp[3\log(y)]=1-y^3$
[/mm]
heißen?
> und fuer [mm]y\ge 1[/mm] ist [mm]F_Y(y)=1[/mm].
Das hab ich auch noch nicht verstanden, wie kommst du da drauf?
Ich danke dir.
Viele Grüße,
miniscout ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 So 25.01.2009 | | Autor: | luis52 |
> In meiner Formelsammlung steht:
>
> [mm]F(x) = 0[/mm] für x<0 und
> [mm]F(x) = 1- exp(-\lambda x)[/mm]
>
Beachte: [mm] $F(x)=P(X\le [/mm] x)$. Wir brauchen aber [mm] $P(X\ge [/mm] y)$.
vg Luis
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Moin,
okay, danke, ich glaub, das meiste hab ich jetzt verstanden. Nur eins noch:
Da Lambda immer 3 ist, sind der Erwartungswert und Varianz bei (a) und (b) dann gleich?
In der Formelsammlung steht:
[mm] $E(X)=\lambda^{-1}$
[/mm]
und
[mm] $Var(X)=\lambda^{-2}$
[/mm]
Demnach käme ich auf
[mm] $E(Y)=\bruch{1}{3}$
[/mm]
und
[mm] $Var(Y)=\bruch{1}{9}$
[/mm]
Stimmt das?
Herzlichen Dank,
miniscout
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 So 25.01.2009 | | Autor: | luis52 |
>
> Demnach käme ich auf
>
> [mm]E(Y)=\bruch{1}{3}[/mm]
>
> und
>
> [mm]Var(Y)=\bruch{1}{9}[/mm]
>
> Stimmt das?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> Herzlichen Dank,
>
Gerne.
vg Luis
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![[flowers]](/images/smileys/flowers.gif "[flowers]"){kind=small}
